Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.45 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Упростите выражение:
1) (1/(a^(1/4)-1)-(a^(1/4)+1)/va):va/(va-2a^(1/4)+1);
2) ((x^(1/6)+1)/(x^(1/6)-1)-(4x^(1/6))/(x^(1/3)-1))·(x^(1/3)+x^(1/6))/(x^(1/6)-1);
3) ((a^(3/4)-b^(3/4))/(va-vb)-a^(1/4)-b^(1/4))((a/b)^(1/4)+1);
4) (va+27)/(a^(1/6)-b^(1/6))·((a^(1/6)-3)/(a^(1/3)-3a^(1/6)+9)-((ab)^(1/6)-9)/(va+27)).
Упростить выражение:
- \[
\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a} — 1} — \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}\right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1} =
\]\[
= \frac{\sqrt{a} — (\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} — 1)}{(\sqrt[4]{a} — 1) \cdot \sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}} =
\]\[
= \frac{\sqrt{a} — (\sqrt{a} — 1) \cdot (\sqrt[4]{a} — 1)^2}{(\sqrt[4]{a} — 1) \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[4]{a} — 1}{\sqrt[4]{a}} = \frac{\sqrt[4]{a} — 1}{a};
\]Ответ: \(\frac{\sqrt[4]{a} — 1}{a}\).
- \[
\left(\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} — 1} — \frac{4 \sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} — 1}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} — 1} =
\]\[
= \left(\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} — 1} — \frac{4 \sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} — 1} =
\]\[
= \frac{(\sqrt[6]{x} + 1)^2 — 4 \sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)} \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} — 1} =
\]\[
= \frac{\sqrt[6]{x} — 2 \sqrt[6]{x} + 1}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)} \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} — 1} =
\]\[
= \frac{(\sqrt[6]{x} — 1)^2}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)} \cdot \frac{\sqrt[6]{x} \cdot (\sqrt[6]{x} + 1)}{\sqrt[6]{x} — 1} = \sqrt[6]{x};
\]Ответ: \(\sqrt[6]{x}\).
- \[
\left(\frac{\sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}\right) \left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}} + 1\right) =
\]\[
= \left(\frac{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt[4]{b^2})}{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} — \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}\right) \cdot \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b}} =
\]\[
= \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt{b} — (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \cdot \sqrt[4]{\frac{a}{b}} =
\]\[
= \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt{b} — (\sqrt[4]{a} + 2 \sqrt[4]{ab} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{b}} = \frac{- \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{b}} = — \sqrt[4]{a};
\]Ответ: \(- \sqrt[4]{a}\).
- \[
\frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} \cdot \left(\frac{\sqrt[6]{a} — 3}{\sqrt[3]{a} — 3 \sqrt[6]{a} + 9} — \frac{\sqrt[6]{ab} — 9}{\sqrt{a} + 27}\right) =
\]\[
= \frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} \cdot \left(\frac{(\sqrt[6]{a} — 3)(\sqrt[6]{a} + 3)}{(\sqrt[6]{a} + 3)(\sqrt[3]{a} — 3 \sqrt[6]{a} + 9)} — \frac{\sqrt[6]{ab} — 9}{\sqrt{a} + 27}\right) =
\]\[
= \frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{a} — 9}{\sqrt{a} + 27} — \frac{\sqrt[6]{ab} — 9}{\sqrt{a} + 27}\right) =
\]\[
= \frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a} + 27} =
\]\[
= \frac{\sqrt[6]{a} \cdot (\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab})}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} = \sqrt[6]{a};
\]Ответ: \(\sqrt[6]{a}\).
Подробное решение с расширенными объяснениями:
- Дано выражение:
\[
\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a} — 1} — \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}\right) : \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1}
\]Первый шаг — привести выражение в скобках к общему знаменателю:
\[
\frac{1}{\sqrt[4]{a} — 1} — \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} — (\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} — 1)}{(\sqrt[4]{a} — 1) \cdot \sqrt{a}}
\]Раскроем скобки в числителе:
\[
(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} — 1) = (\sqrt[4]{a})^2 — 1 = \sqrt{a} — 1
\]Подставим обратно в числитель:
\[
\sqrt{a} — (\sqrt{a} — 1) = \sqrt{a} — \sqrt{a} + 1 = 1
\]Таким образом, выражение в скобках упрощается до:
\[
\frac{1}{(\sqrt[4]{a} — 1) \cdot \sqrt{a}}
\]Теперь деление на дробь заменим умножением на её обратную:
\[
\frac{1}{(\sqrt[4]{a} — 1) \cdot \sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}}
\]Обратим внимание, что числитель второй дроби можно представить как квадрат разности:
\[
\sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{a} + 1 = (\sqrt[4]{a} — 1)^2
\]Подставим это и упростим:
\[
\frac{1}{(\sqrt[4]{a} — 1) \cdot \sqrt{a}} \cdot \frac{(\sqrt[4]{a} — 1)^2}{\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt[4]{a} — 1)^2}{(\sqrt[4]{a} — 1) \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{\sqrt[4]{a} — 1}{a}
\]Итог: выражение равно \(\frac{\sqrt[4]{a} — 1}{a}\).
- Дано выражение:
\[
\left(\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} — 1} — \frac{4 \sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} — 1}\right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} — 1}
\]Первый шаг — привести дроби к общему знаменателю. Заметим, что \(\sqrt[3]{x} — 1 = (\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)\).
Перепишем вторую дробь с учётом этого:
\[
\frac{4 \sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} — 1} = \frac{4 \sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)}
\]Теперь вычтем дроби:
\[
\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} — 1} — \frac{4 \sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)} = \frac{(\sqrt[6]{x} + 1)^2 — 4 \sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)}
\]Рассчитаем числитель:
\[
(\sqrt[6]{x} + 1)^2 — 4 \sqrt[6]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 + 2 \sqrt[6]{x} + 1 — 4 \sqrt[6]{x} = \sqrt[3]{x} — 2 \sqrt[6]{x} + 1
\]Подставим обратно:
\[
\frac{\sqrt[3]{x} — 2 \sqrt[6]{x} + 1}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)} \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} — 1}
\]Обозначим знаменатель через произведение:
\[
(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} — 1) = (\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)^2
\]Перепишем выражение:
\[
\frac{\sqrt[3]{x} — 2 \sqrt[6]{x} + 1}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)^2} \cdot (\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x})
\]Обратим внимание, что \(\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2\), значит числитель:
\[
\sqrt[3]{x} — 2 \sqrt[6]{x} + 1 = (\sqrt[6]{x} — 1)^2
\]Подставим и упростим:
\[
\frac{(\sqrt[6]{x} — 1)^2}{(\sqrt[6]{x} + 1)(\sqrt[6]{x} — 1)^2} \cdot (\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}) = \frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} \cdot (\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x})
\]Заметим, что \(\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x} = \sqrt[6]{x} (\sqrt[6]{x} + 1)\), тогда:
\[
\frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} \cdot \sqrt[6]{x} (\sqrt[6]{x} + 1) = \sqrt[6]{x}
\]Итог: выражение равно \(\sqrt[6]{x}\).
- Дано выражение:
\[
\left(\frac{\sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b}\right) \cdot \left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}} + 1\right)
\]Рассмотрим дробь в скобках. Заметим, что:
\[
\sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{b^3} = (\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt[4]{b^2})
\]Также знаменатель можно представить как:
\[
\sqrt{a} — \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})
\]Тогда дробь равна:
\[
\frac{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a^2} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt[4]{b^2})}{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}
\]Подставим это в исходное выражение и вычтем \(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\):
\[
\frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} — (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) = \frac{\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt{b} — (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}
\]Раскроем квадрат в числителе:
\[
(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2 = \sqrt{a} + 2 \sqrt[4]{ab} + \sqrt{b}
\]Подставим и упростим числитель:
\[
\sqrt{a} + \sqrt[4]{ab} + \sqrt{b} — \sqrt{a} — 2 \sqrt[4]{ab} — \sqrt{b} = — \sqrt[4]{ab}
\]Итоговое выражение:
\[
\frac{- \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \cdot \left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}} + 1\right)
\]Обратим внимание, что:
\[
\sqrt[4]{\frac{a}{b}} + 1 = \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b}}
\]Тогда выражение упрощается до:
\[
-\frac{\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \cdot \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b}} = — \sqrt[4]{a}
\]Итог: выражение равно \(- \sqrt[4]{a}\).
- Дано выражение:
\[
\frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} \cdot \left(\frac{\sqrt[6]{a} — 3}{\sqrt[3]{a} — 3 \sqrt[6]{a} + 9} — \frac{\sqrt[6]{ab} — 9}{\sqrt{a} + 27}\right)
\]Первый шаг — привести выражение в скобках к общему знаменателю:
\[
\frac{(\sqrt[6]{a} — 3)(\sqrt[6]{a} + 3)}{(\sqrt[6]{a} + 3)(\sqrt[3]{a} — 3 \sqrt[6]{a} + 9)} — \frac{\sqrt[6]{ab} — 9}{\sqrt{a} + 27}
\]Обратим внимание, что:
\[
(\sqrt[6]{a} — 3)(\sqrt[6]{a} + 3) = (\sqrt[6]{a})^2 — 9 = \sqrt[3]{a} — 9
\]Подставим обратно и объединим дроби:
\[
\frac{\sqrt[3]{a} — 9}{\sqrt{a} + 27} — \frac{\sqrt[6]{ab} — 9}{\sqrt{a} + 27} = \frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a} + 27}
\]Теперь исходное выражение принимает вид:
\[
\frac{\sqrt{a} + 27}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a} + 27} = \frac{\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b}}
\]Обозначим \(\sqrt[6]{a} = A\), \(\sqrt[6]{b} = B\), тогда:
\[
\frac{A^2 — A B}{A — B} = \frac{A (A — B)}{A — B} = A = \sqrt[6]{a}
\]Итог: выражение равно \(\sqrt[6]{a}\).
Алгебра
