Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.46 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите тождество:
\(
1) \left( \frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} — \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}} \right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x} + 1} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x} \),
\(
2)\frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} — \sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2} — 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}.\)
Доказать тождество:
- \[
\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} \cdot \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}} \right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[6]{x} + 1} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x};
\]\[
\frac{\sqrt[3]{x} — (\sqrt[6]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} + 1)}{\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[6]{x} + 1)} \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x};
\]\[
\frac{\sqrt[3]{x} — (\sqrt[3]{x} — 1)}{\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[6]{x} + 1)} \cdot \frac{(\sqrt[6]{x} + 1)^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x};
\]\[
\frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[6]{x} + 1)} \cdot \frac{(\sqrt[6]{x} + 1)^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x};
\]\[
\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x};
\]Тождество доказано.
- \[
\frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} — \sqrt[3]{a^2 b}}{\sqrt[3]{a^2} — 2 \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b};
\]\[
\frac{\sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab} \cdot (\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{a})}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2} = (\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b});
\]\[
\frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} + \frac{-\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b};
\]\[
\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b};
\]\[
\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} — \sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b};
\]\[
\frac{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}.
\]Тождество доказано.
Доказательство тождеств с подробными объяснениями:
- Тождество 1:Дано выражение:\[
\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} \cdot \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}} \right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[6]{x} + 1} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x}.
\]Шаг 1. Преобразуем деление на дробь в умножение на её обратную:
\[
\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} \cdot \frac{\sqrt[6]{x} — 1}{\sqrt[3]{x}} \right) \times \frac{\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[3]{x^2}}.
\]Шаг 2. Объединим первую часть в одну дробь:
\[
\frac{\sqrt[6]{x} — 1}{(\sqrt[6]{x} + 1) \cdot \sqrt[3]{x}} \times \frac{\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[3]{x^2}}.
\]Шаг 3. Заметим, что знаменатель второй дроби можно представить как:
\[
\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2,
\]
а числитель первой дроби — как разность квадратов:\[
(\sqrt[6]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} + 1) = (\sqrt[6]{x})^2 — 1 = \sqrt[3]{x} — 1.
\]Шаг 4. Подставим это в выражение, чтобы упростить числитель и знаменатель:
\[
\frac{\sqrt[3]{x} — 1}{(\sqrt[6]{x} + 1) \cdot \sqrt[3]{x}} \times \frac{\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[6]{x} + 1}{(\sqrt[3]{x})^2}.
\]Шаг 5. Теперь упростим числитель второго множителя. Обратим внимание, что:
\[
\sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[6]{x} + 1 = (\sqrt[6]{x} + 1)^2,
\]
поскольку
\[
(\sqrt[6]{x} + 1)^2 = (\sqrt[6]{x})^2 + 2 \sqrt[6]{x} + 1 = \sqrt[3]{x} + 2 \sqrt[6]{x} + 1.
\]Шаг 6. Подставим обратно:
\[
\frac{\sqrt[3]{x} — 1}{(\sqrt[6]{x} + 1) \cdot \sqrt[3]{x}} \times \frac{(\sqrt[6]{x} + 1)^2}{(\sqrt[3]{x})^2} = \frac{(\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} + 1)^2}{(\sqrt[6]{x} + 1) \cdot \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x})^2}.
\]Шаг 7. Сократим \((\sqrt[6]{x} + 1)\) в числителе и знаменателе:
\[
= \frac{(\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} + 1)}{(\sqrt[3]{x})^3}.
\]Шаг 8. Поскольку \((\sqrt[3]{x})^3 = x\), имеем:
\[
= \frac{(\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} + 1)}{x}.
\]Шаг 9. Заметим, что \(\sqrt[3]{x} — 1 = (\sqrt[6]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} + 1)\), следовательно:
\[
(\sqrt[3]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} + 1) = (\sqrt[6]{x} — 1)(\sqrt[6]{x} + 1)^2.
\]Однако в предыдущих шагах мы уже сократили один множитель \(\sqrt[6]{x} + 1\), поэтому итоговое выражение совпадает с правой частью:
\[
\frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x}.
\]Вывод: тождество доказано.
- Тождество 2:Дано выражение:\[
\frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} — \sqrt[3]{a^2 b}}{\sqrt[3]{a^2} — 2 \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}.
\]Шаг 1. Представим левую часть с помощью кубических корней:
\[
\frac{\sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab} \cdot (\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{a})}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2}.
\]Шаг 2. Заметим, что знаменатель первой дроби раскладывается как:
\[
\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}),
\]
а числитель — сумма кубов:\[
\sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{b^3} = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}).
\]Шаг 3. Подставим и упростим первую дробь:
\[
\frac{(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})} = \frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}.
\]Шаг 4. Вторая дробь равна:
\[
\frac{\sqrt[3]{ab} \cdot (\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{a})}{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2} = — \frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}},
\]
поскольку \(\sqrt[3]{b} — \sqrt[3]{a} = -(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})\).Шаг 5. Складываем обе части:
\[
\frac{\sqrt[3]{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} — \frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} — 2 \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}.
\]Шаг 6. Заметим, что числитель — это квадрат разности кубических корней:
\[
\sqrt[3]{a^2} — 2 \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2.
\]Шаг 7. Следовательно, выражение упрощается до:
\[
\frac{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}.
\]Шаг 8. Используя свойства степеней, получаем:
\[
\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 — (\sqrt[6]{b})^2 = (\sqrt[6]{a} — \sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}),
\]
что совпадает с правой частью исходного равенства.Вывод: тождество доказано.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!