Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.47 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение ((x-3)^4)^(1/4)+((5-x)^6)^(1/6)=2.
Решить уравнение:
\[
\sqrt[4]{(x-3)^4} + \sqrt[6]{(5-x)^6} = 2; \quad |x-3| + |5-x| = 2;
\]
1) Выражения под знаком модуля:
\[
x — 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3;
\]
\[
5 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5;
\]
2) Если \(x > 5\), тогда:
\[
(x — 3) — (5 — x) = 2;
\]
\[
x — 3 — 5 + x = 2;
\]
\[
2x — 8 = 2;
\]
\[
2x = 10;
\]
\[
x = 5;
\]
3) Если \(3 \leq x \leq 5\), тогда:
\[
(x — 3) + (5 — x) = 2;
\]
\[
0 \cdot x + 2 = 2;
\]
\[
0 \cdot x = 0;
\]
\[
x \in \mathbb{R};
\]
4) Если \(x < 3\), тогда:
\[
-(x — 3) — (5 — x) = 2;
\]
\[
-x + 3 — 5 + x = 2;
\]
\[
0 \cdot x — 2 = 2;
\]
\[
0 = 4;
\]
Ответ: \(x \in [3; 5].\)
Решение уравнения:
Дано уравнение:
\[
\sqrt[4]{(x-3)^4} + \sqrt[6]{(5-x)^6} = 2,
\]
что эквивалентно
\[
|x — 3| + |5 — x| = 2.
\]
Для решения уравнения с модулями нужно рассмотреть разные случаи, в зависимости от знаков выражений под модулем.
Шаг 1. Определение областей для модулей
Выражения под знаком модуля:
- Если \(x — 3 \geq 0\), то \(x\) больше или равен 3.
- Если \(5 — x \geq 0\), то \(x\) меньше или равен 5.
Таким образом, критические точки — это \(x = 3\) и \(x = 5\), на которых меняется знак выражений под модулями.
Шаг 2. Рассмотрим случаи:
Случай 1: \(x > 5\)
Если \(x > 5\), то:
- \(|x — 3| = x — 3\) (так как \(x — 3\) положительно)
- \(|5 — x| = -(5 — x) = x — 5\) (так как \(5 — x\) отрицательно)
Подставляем в уравнение:
\[
|x — 3| + |5 — x| = (x — 3) + (x — 5) = 2x — 8.
\]
По условию уравнения:
\[
2x — 8 = 2.
\]
Решаем:
\[
2x = 10,
\]
\[
x = 5.
\]
Но \(x = 5\) не удовлетворяет условию \(x > 5\), значит решений в этом случае нет.
Случай 2: \(3 \leq x \leq 5\)
Если \(x\) лежит между 3 и 5 включительно, то:
- \(|x — 3| = x — 3\) (так как \(x — 3\) неотрицательно)
- \(|5 — x| = 5 — x\) (так как \(5 — x\) неотрицательно)
Подставляем в уравнение:
\[
|x — 3| + |5 — x| = (x — 3) + (5 — x) = 2.
\]
Это уравнение верно для всех \(x\) из промежутка \([3, 5]\).
Следовательно, все \(x\) из интервала от 3 до 5 включительно являются решениями уравнения.
Случай 3: \(x < 3\)
Если \(x < 3\), то:
- \(|x — 3| = -(x — 3) = 3 — x\) (так как \(x — 3\) отрицательно)
- \(|5 — x| = 5 — x\) (так как \(5 — x\) положительно)
Подставляем в уравнение:
\[
|x — 3| + |5 — x| = (3 — x) + (5 — x) = 8 — 2x.
\]
По условию уравнения:
\[
8 — 2x = 2.
\]
Решаем:
\[
-2x = 2 — 8 = -6,
\]
\[
x = 3.
\]
Но \(x = 3\) не удовлетворяет условию \(x < 3\), значит решений в этом случае нет.
Шаг 3. Проверка граничных значений
Проверим значения в точках \(x = 3\) и \(x = 5\):
- При \(x = 3\): \(|3 — 3| + |5 — 3| = 0 + 2 = 2\) — подходит.
- При \(x = 5\): \(|5 — 3| + |5 — 5| = 2 + 0 = 2\) — подходит.
Шаг 4. Итоговое решение исходного уравнения
Исходное уравнение:
\[
\sqrt[4]{(x — 3)^4} + \sqrt[6]{(5 — x)^6} = 2.
\]
Поскольку:
\[\sqrt[4]{(x — 3)^4} = |x — 3|,\]
и
\[\sqrt[6]{(5 — x)^6} = |5 — x|,\]
то исходное уравнение эквивалентно уравнению с модулями, рассмотренному выше.
Ответ:
\[
x \text{ принадлежит интервалу } [3, 5].
\]
То есть, любое число \(x\) от 3 до 5 включительно является решением данного уравнения.
Алгебра
