ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.48 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \sqrt[8]{(x + 1)^8} + \sqrt{(x — 3)^2} \).

Построить график функции:

\( y = \sqrt[8]{(x+1)^8} + \sqrt{(x-3)^2}; \)
\( y = |x+1| + |x-3|; \)

1) Выражения под знаком модуля:

\( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1; \)
\( x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3; \)

2) Если \( x \geq 3 \), тогда:

\( y = (x+1) + (x-3) = 2x — 2; \)

3) Если \(-1 \leq x < 3\), тогда:

\( y = (x+1) — (x-3) = 4; \)

4) Если \( x < -1 \), тогда:

\( y = -(x+1) — (x-3) = 2 — 2x; \)

5) График функции:

Построить график функции:

Рассмотрим функцию:
\( y = \sqrt[8]{(x+1)^8} + \sqrt{(x-3)^2} \)
Поскольку корень восьмой степени от числа в восьмой степени равен абсолютному значению этого числа, а корень квадратный от квадрата также равен абсолютному значению, то можно переписать функцию как:
\( y = |x+1| + |x-3| \)

1) Анализ выражений под знаком модуля:

Чтобы раскрыть модули, нужно определить, когда выражения под ними неотрицательны или отрицательны.
Для \( |x+1| \):
\( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1; \)
Для \( |x-3| \):
\( x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3; \)

2) Рассмотрим три случая для \( x \):

Случай 1: \( x \geq 3 \)

В этом случае обе величины под модулями неотрицательны, поэтому:

\( y = (x+1) + (x-3) = 2x — 2 \)

Случай 2: \(-1 \leq x < 3\)

Здесь \( x+1 \geq 0 \), но \( x-3 < 0 \), значит:

\( y = (x+1) — (x-3) = (x+1) — x + 3 = 4 \)

Обратите внимание, что при любом \( x \) в этом интервале значение функции постоянно и равно 4.

Случай 3: \( x < -1 \)

Здесь обе величины под модулями отрицательны, значит:

\( y = -(x+1) — (x-3) = -x -1 — x + 3 = 2 — 2x \)

3) Итоговое выражение функции:

<[
y = \begin{cases}
2 — 2x, & x < -1 \\
4, & -1 \leq x < 3 \\ 2x — 2, & x \geq 3 \end{cases} \]>

4) Построение графика функции:

График функции состоит из трёх частей:

• Линейный участок с отрицательным наклоном для \( x < -1 \), проходящий через точки (-3, 8) и (-1, 4).
• Горизонтальный участок \( y=4 \) для \( -1 \leq x < 3 \).
• Линейный участок с положительным наклоном для \( x \geq 3 \), проходящий через точки (3, 4) и (5, 8).

Таким образом, график имеет вид буквы «W», но с плоской средней частью.

5) График функции:

6) Вывод:

Функция \( y = |x+1| + |x-3| \) является кусочно-линейной и состоит из трёх линейных участков, соединённых в точках \( x = -1 \) и \( x = 3 \). На промежутке между этими точками функция постоянна и равна 4.