Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.49 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения является числом рациональным:
1) (7+5v2)^(1/3)+(7-5v2)^(1/3);
2) (6v3+10)^(1/3)-(6v3-10)^(1/3).
Доказать, что значение выражения является рациональным числом:
1) \(\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}};\)
Пусть \(a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}\), тогда:
\(a \cdot b = \sqrt[3]{(7 + 5\sqrt{2})(7 — 5\sqrt{2})} = \sqrt[3]{49 — 25 \cdot 2} = \sqrt[3]{-1} = -1;\)
\(a^3 + b^3 = (7 + 5\sqrt{2}) + (7 — 5\sqrt{2}) = 7 + 7 = 14;\)
Решим уравнение:
\(a^3 + b^3 = 14;\)
\((a + b)(a^2 — ab + b^2) = 14;\)
\((a + b)(a^2 + 2ab + b^2 — 3ab) = 14;\)
\((a + b)((a + b)^2 + 3) = 14;\)
\((a + b)^3 + 3(a + b) = 14;\)
Пусть \(x = a + b\), тогда:
\(x^3 + 3x = 14;\)
\(x^3 = 14 — 3x;\)
Уравнение имеет единственный корень \(x = 2 \in \mathbb{Q};\)
Что и требовалось доказать.
2) \(\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} — \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10};\)
Пусть \(a = \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10}\) и \(b = \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}\), тогда:
\(a \cdot b = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} — 10)} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 — 100} = \sqrt[3]{8} = 2;\)
\(a^3 — b^3 = (6\sqrt{3} + 10) — (6\sqrt{3} — 10) = 10 + 10 = 20;\)
Решим уравнение:
\(a^3 — b^3 = 20;\)
\((a — b)(a^2 + ab + b^2) = 20;\)
\((a — b)(a^2 — 2ab + b^2 + 3ab) = 20;\)
\((a — b)((a — b)^2 + 6) = 20;\)
\((a — b)^3 + 6(a — b) = 20;\)
Пусть \(x = a — b\), тогда:
\(x^3 + 6x = 20;\)
\(x^3 = 20 — 6x;\)
Уравнение имеет единственный корень \(x = 2 \in \mathbb{Q};\)
Что и требовалось доказать.
Доказать, что значение выражения является рациональным числом:
1) Выражение
\[
\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}
\]
Пусть обозначим:
\[
a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}, \quad b = \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}
\]
Тогда произведение \(a\) и \(b\) будет равно:
\[
a \cdot b = \sqrt[3]{(7 + 5\sqrt{2})(7 — 5\sqrt{2})} = \sqrt[3]{49 — 25 \cdot 2} = \sqrt[3]{49 — 50} = \sqrt[3]{-1} = -1
\]
Сумма кубов \(a^3\) и \(b^3\) равна сумме подкоренных выражений:
\[
a^3 + b^3 = (7 + 5\sqrt{2}) + (7 — 5\sqrt{2}) = 7 + 7 = 14
\]
Используем формулу суммы кубов:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\]
Подставим известные значения и выразим уравнение через \(x = a + b\):
\[
14 = x (a^2 — ab + b^2)
\]
Преобразуем выражение под скобками:
\[
a^2 — ab + b^2 = (a + b)^2 — 3ab = x^2 — 3(-1) = x^2 + 3
\]
Тогда уравнение принимает вид:
\[
14 = x (x^2 + 3) \Rightarrow x^3 + 3x = 14
\]
Перепишем уравнение:
\[
x^3 + 3x — 14 = 0
\]
Проверим рациональные корни уравнения. Подставим \(x = 2\):
\[
2^3 + 3 \cdot 2 — 14 = 8 + 6 — 14 = 0
\]
Таким образом, \(x = 2\) — корень уравнения, и \(x = a + b = 2\) является рациональным числом.
Следовательно, исходное выражение равно рациональному числу 2.
Что и требовалось доказать.
2) Выражение
\[
\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} — \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}
\]
Пусть:
\[
a = \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10}, \quad b = \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}
\]
Вычислим произведение:
\[
a \cdot b = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} — 10)} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 — 100} = \sqrt[3]{108 — 100} = \sqrt[3]{8} = 2
\]
Вычислим разность кубов:
\[
a^3 — b^3 = (6\sqrt{3} + 10) — (6\sqrt{3} — 10) = 10 + 10 = 20
\]
Используем формулу разности кубов:
\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)
\]
Обозначим \(x = a — b\). Подставим в уравнение:
\[
20 = x (a^2 + ab + b^2)
\]
Преобразуем выражение \(a^2 + ab + b^2\):
\[
a^2 + ab + b^2 = (a — b)^2 + 3ab = x^2 + 3 \cdot 2 = x^2 + 6
\]
Тогда уравнение принимает вид:
\[
20 = x (x^2 + 6) \Rightarrow x^3 + 6x = 20
\]
Перепишем уравнение:
\[
x^3 + 6x — 20 = 0
\]
Проверим рациональные корни, подставим \(x = 2\):
\[
2^3 + 6 \cdot 2 — 20 = 8 + 12 — 20 = 0
\]
Таким образом, \(x = 2\) — единственный корень уравнения, и \(x = a — b = 2\) является рациональным числом.
Следовательно, исходное выражение равно рациональному числу 2.
Что и требовалось доказать.
Алгебра
