ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.49 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения является числом рациональным:

1) \( \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}; \)

2) \( \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} — \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}. \)

Доказать, что значение выражения является рациональным числом:

1) \(\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}};\)

Пусть \(a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}\), тогда:

\(a \cdot b = \sqrt[3]{(7 + 5\sqrt{2})(7 — 5\sqrt{2})} = \sqrt[3]{49 — 25 \cdot 2} = \sqrt[3]{-1} = -1;\)

\(a^3 + b^3 = (7 + 5\sqrt{2}) + (7 — 5\sqrt{2}) = 7 + 7 = 14;\)

Решим уравнение:

\(a^3 + b^3 = 14;\)
\((a + b)(a^2 — ab + b^2) = 14;\)
\((a + b)(a^2 + 2ab + b^2 — 3ab) = 14;\)
\((a + b)((a + b)^2 + 3) = 14;\)
\((a + b)^3 + 3(a + b) = 14;\)

Пусть \(x = a + b\), тогда:

\(x^3 + 3x = 14;\)
\(x^3 = 14 — 3x;\)

Уравнение имеет единственный корень \(x = 2 \in \mathbb{Q};\)

Что и требовалось доказать.

2) \(\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} — \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10};\)

Пусть \(a = \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10}\) и \(b = \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}\), тогда:

\(a \cdot b = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} — 10)} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 — 100} = \sqrt[3]{8} = 2;\)

\(a^3 — b^3 = (6\sqrt{3} + 10) — (6\sqrt{3} — 10) = 10 + 10 = 20;\)

Решим уравнение:

\(a^3 — b^3 = 20;\)
\((a — b)(a^2 + ab + b^2) = 20;\)
\((a — b)(a^2 — 2ab + b^2 + 3ab) = 20;\)
\((a — b)((a — b)^2 + 6) = 20;\)
\((a — b)^3 + 6(a — b) = 20;\)

Пусть \(x = a — b\), тогда:

\(x^3 + 6x = 20;\)
\(x^3 = 20 — 6x;\)

Уравнение имеет единственный корень \(x = 2 \in \mathbb{Q};\)

Что и требовалось доказать.

Доказать, что значение выражения является рациональным числом:

1) Выражение

\[
\sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}
\]

Пусть обозначим:

\[
a = \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}}, \quad b = \sqrt[3]{7 — 5\sqrt{2}}
\]

Тогда произведение \(a\) и \(b\) будет равно:

\[a \cdot b = \sqrt[3]{(7 + 5\sqrt{2})(7 — 5\sqrt{2})}=\]

\[= \sqrt[3]{49 — 25 \cdot 2} = \sqrt[3]{49 — 50} = \sqrt[3]{-1} = -1\]

Сумма кубов \(a^3\) и \(b^3\) равна сумме подкоренных выражений:

\[
a^3 + b^3 = (7 + 5\sqrt{2}) + (7 — 5\sqrt{2}) = 7 + 7 = 14
\]

Используем формулу суммы кубов:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\]

Подставим известные значения и выразим уравнение через \(x = a + b\):

\[
14 = x (a^2 — ab + b^2)
\]

Преобразуем выражение под скобками:

\[a^2 — ab + b^2 = (a + b)^2 — 3ab=\]

\[= x^2 — 3(-1) = x^2 + 3\]

Тогда уравнение принимает вид:

\[
14 = x (x^2 + 3) \Rightarrow x^3 + 3x = 14
\]

Перепишем уравнение:

\[
x^3 + 3x — 14 = 0
\]

Проверим рациональные корни уравнения. Подставим \(x = 2\):

\[
2^3 + 3 \cdot 2 — 14 = 8 + 6 — 14 = 0
\]

Таким образом, \(x = 2\) — корень уравнения, и \(x = a + b = 2\) является рациональным числом.

Следовательно, исходное выражение равно рациональному числу 2.

Что и требовалось доказать.

2) Выражение

\[
\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} — \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}
\]

Пусть:

\[
a = \sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10}, \quad b = \sqrt[3]{6\sqrt{3} — 10}
\]

Вычислим произведение:

\[a \cdot b = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} — 10)}=\]

\[= \sqrt[3]{36 \cdot 3 — 100} = \sqrt[3]{108 — 100} = \sqrt[3]{8} = 2\]

Вычислим разность кубов:

\[
a^3 — b^3 = (6\sqrt{3} + 10) — (6\sqrt{3} — 10) = 10 + 10 = 20
\]

Используем формулу разности кубов:

\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Обозначим \(x = a — b\). Подставим в уравнение:

\[
20 = x (a^2 + ab + b^2)
\]

Преобразуем выражение \(a^2 + ab + b^2\):

\[
a^2 + ab + b^2 = (a — b)^2 + 3ab = x^2 + 3 \cdot 2 = x^2 + 6
\]

Тогда уравнение принимает вид:

\[
20 = x (x^2 + 6) \Rightarrow x^3 + 6x = 20
\]

Перепишем уравнение:

\[
x^3 + 6x — 20 = 0
\]

Проверим рациональные корни, подставим \(x = 2\):

\[
2^3 + 6 \cdot 2 — 20 = 8 + 12 — 20 = 0
\]

Таким образом, \(x = 2\) — единственный корень уравнения, и \(x = a — b = 2\) является рациональным числом.

Следовательно, исходное выражение равно рациональному числу 2.

Что и требовалось доказать.