Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.50 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что (20+14v2)^(1/3)+(20-14v2)^(1/3)=4.
Доказать, что:
\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4;
\]
1) Пусть \(a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}\), тогда:
\[
a \cdot b = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})} = \sqrt[3]{400 — 196 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2;
\]
\[
a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 — 14\sqrt{2}) = 20 + 20 = 40;
\]
2) Решим уравнение:
\[
a^3 + b^3 = 40;
\]
\[
(a + b)(a^2 — ab + b^2) = 40;
\]
\[
(a + b)(a^2 + 2ab + b^2 — 3ab) = 40;
\]
\[
(a + b)((a + b)^2 — 6) = 40;
\]
\[
(a + b)^3 — 6(a + b) = 40;
\]
3) Пусть \(x = a + b\), тогда:
\[
x^3 — 6x = 40;
\]
\[
x^3 — 6x — 40 = 0;
\]
Уравнение имеет корень \(x = 4\), что и требовалось доказать.
Доказательство, что
\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4
\]
1) Обозначения и вычисления произведения
Пусть:
\[
a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}, \quad b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}
\]
Рассмотрим произведение \(a \cdot b\):
\[
a \cdot b = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})}
\]
Выполним умножение подкоренных выражений, используя формулу разности квадратов:
\[
(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2}) = 20^2 — (14\sqrt{2})^2 = 400 — 196 \cdot 2 = 400 — 392 = 8
\]
Отсюда:
\[
a \cdot b = \sqrt[3]{8} = 2
\]
2) Вычисление суммы кубов
По определению:
\[
a^3 = 20 + 14\sqrt{2}, \quad b^3 = 20 — 14\sqrt{2}
\]
Сложим эти значения:
\[
a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 — 14\sqrt{2}) = 20 + 20 = 40
\]
3) Использование формулы суммы кубов
Известно, что:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\]
Подставим известные значения:
\[
40 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\]
4) Преобразование выражения \(a^2 — ab + b^2\)
Выразим \(a^2 — ab + b^2\) через \(a + b\) и \(ab\):
\[
a^2 — ab + b^2 = (a + b)^2 — 3ab
\]
Так как \(ab = 2\), то:
\[
a^2 — ab + b^2 = (a + b)^2 — 3 \cdot 2 = (a + b)^2 — 6
\]
5) Получаем уравнение для суммы \(x = a + b\)
Подставим в уравнение:
\[
40 = x (x^2 — 6)
\]
Раскроем скобки:
\[
40 = x^3 — 6x
\]
Перепишем уравнение в стандартном виде:
\[
x^3 — 6x — 40 = 0
\]
6) Нахождение корня уравнения
Проверим рациональные корни уравнения. Подставим \(x = 4\):
\[
4^3 — 6 \cdot 4 — 40 = 64 — 24 — 40 = 0
\]
Таким образом, \(x = 4\) является корнем уравнения.
7) Заключение
Мы обозначили сумму выражений под кубическими корнями как \(x = a + b\) и доказали, что она удовлетворяет уравнению с рациональным корнем \(x = 4\). Следовательно, исходное выражение:
\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4
\]
Что и требовалось доказать.
Алгебра
