ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.50 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что \( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4 \).

Доказать, что:

\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4;
\]

1) Пусть \(a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}\) и \(b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}\), тогда:

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})} = \sqrt[3]{400 — 196 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2;
\]

\[
a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 — 14\sqrt{2}) = 20 + 20 = 40;
\]

2) Решим уравнение:

\[
a^3 + b^3 = 40;
\]

\[
(a + b)(a^2 — ab + b^2) = 40;
\]

\[
(a + b)(a^2 + 2ab + b^2 — 3ab) = 40;
\]

\[
(a + b)((a + b)^2 — 6) = 40;
\]

\[
(a + b)^3 — 6(a + b) = 40;
\]

3) Пусть \(x = a + b\), тогда:

\[
x^3 — 6x = 40;
\]

\[
x^3 — 6x — 40 = 0;
\]

Уравнение имеет корень \(x = 4\), что и требовалось доказать.

Доказательство, что

\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4
\]

1) Обозначения и вычисления произведения

Пусть:

\[
a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}, \quad b = \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}}
\]

Рассмотрим произведение \(a \cdot b\):

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2})}
\]

Выполним умножение подкоренных выражений, используя формулу разности квадратов:

\[(20 + 14\sqrt{2})(20 — 14\sqrt{2}) = 20^2 — (14\sqrt{2})^2=\]

\[= 400 — 196 \cdot 2 = 400 — 392 = 8\]

Отсюда:

\[
a \cdot b = \sqrt[3]{8} = 2
\]

2) Вычисление суммы кубов

По определению:

\[
a^3 = 20 + 14\sqrt{2}, \quad b^3 = 20 — 14\sqrt{2}
\]

Сложим эти значения:

\[
a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 — 14\sqrt{2}) = 20 + 20 = 40
\]

3) Использование формулы суммы кубов

Известно, что:

\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\]

Подставим известные значения:

\[
40 = (a + b)(a^2 — ab + b^2)
\]

4) Преобразование выражения \(a^2 — ab + b^2\)

Выразим \(a^2 — ab + b^2\) через \(a + b\) и \(ab\):

\[
a^2 — ab + b^2 = (a + b)^2 — 3ab
\]

Так как \(ab = 2\), то:

\[
a^2 — ab + b^2 = (a + b)^2 — 3 \cdot 2 = (a + b)^2 — 6
\]

5) Получаем уравнение для суммы \(x = a + b\)

Подставим в уравнение:

\[
40 = x (x^2 — 6)
\]

Раскроем скобки:

\[
40 = x^3 — 6x
\]

Перепишем уравнение в стандартном виде:

\[
x^3 — 6x — 40 = 0
\]

6) Нахождение корня уравнения

Проверим рациональные корни уравнения. Подставим \(x = 4\):

\[
4^3 — 6 \cdot 4 — 40 = 64 — 24 — 40 = 0
\]

Таким образом, \(x = 4\) является корнем уравнения.

7) Заключение

Мы обозначили сумму выражений под кубическими корнями как \(x = a + b\) и доказали, что она удовлетворяет уравнению с рациональным корнем \(x = 4\). Следовательно, исходное выражение:

\[
\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 — 14\sqrt{2}} = 4
\]

Что и требовалось доказать.