Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.54 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите графически уравнение:
1) vx=-x-1;
2) vx=2-x;
3) vx=1/x.
Решить графически уравнение:
1) \(\sqrt{x} = -x — 1;\)
\(y = \sqrt{x}\) – уравнение ветви параболы:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0;\)
| \(x\) | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 3 |
\(y = -x — 1\) – уравнение прямой:
| \(x\) | 0 | 2 |
|---|---|---|
| \(y\) | -1 | -3 |
Ответ: корней нет.
2) \(\sqrt{x} = 2 — x;\)
\(y = \sqrt{x}\) – уравнение ветви параболы:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0;\)
| \(x\) | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 3 |
\(y = 2 — x\) – уравнение прямой:
| \(x\) | 0 | 2 |
|---|---|---|
| \(y\) | 2 | 0 |
Ответ: \(x = 1.\)
3) \(\sqrt{x} = \frac{1}{x};\)
\(y = \sqrt{x}\) – уравнение ветви параболы:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0;\)
| \(x\) | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 1 | 2 | 3 |
\(y = \frac{1}{x}\) – уравнение гиперболы:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0;\)
| \(x\) | 0,5 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 2 | 1 | 0,5 |
Ответ: \(x = 1.\)
Решение графическим методом уравнений с корнем:
Рассмотрим каждое уравнение по отдельности, построим графики соответствующих функций и найдем точки пересечения, которые и будут решением уравнения.
1) Уравнение \(\sqrt{x} = -x — 1\)
Правая часть уравнения — линейная функция \(y = -x — 1\), левая — корень \(y = \sqrt{x}\), определённый только при \(x \geq 0\).
- Область определения: \(x \geq 0\), так как подкоренное выражение неотрицательно.
- График \(y = \sqrt{x}\): начинается в точке \((0,0)\), растёт медленно, для \(x=1\) значение \(y=1\), для \(x=4\) — \(y=2\), для \(x=9\) — \(y=3\).
- График \(y = -x — 1\): прямая с отрицательным наклоном, пересекает ось \(y\) в точке \((0,-1)\), для \(x=2\) значение \(y=-3\).
Поскольку \(y = \sqrt{x} \geq 0\) для всех \(x \geq 0\), а \(y = -x — 1 \leq -1 < 0\) для всех \(x \geq 0\), графики не пересекаются.
Ответ: решений нет.
2) Уравнение \(\sqrt{x} = 2 — x\)
Правая часть — линейная функция \(y = 2 — x\), левая — \(y = \sqrt{x}\), определённая при \(x \geq 0\).
- Область определения: \(x \geq 0\).
- График \(y = \sqrt{x}\): как и в предыдущем случае.
- График \(y = 2 — x\): прямая с наклоном \(-1\), пересекающая ось \(y\) в точке \((0,2)\), и ось \(x\) в точке \((2,0)\).
Найдём точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции:
\[
\sqrt{x} = 2 — x
\]
Возведем обе части в квадрат (учитывая, что \(2 — x \geq 0\), то есть \(x \leq 2\)):
\[
x = (2 — x)^2 = 4 — 4x + x^2
\]
\[
x^2 — 5x + 4 = 0
\]
Решим квадратное уравнение:
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 — 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}
\]
\[
x_1 = 4, \quad x_2 = 1
\]
Проверим оба корня на исходном уравнении и области определения:
- При \(x=4\): \(\sqrt{4} = 2\), а \(2 — 4 = -2\). Неравенство \(2 — x \geq 0\) не выполняется, значит \(x=4\) не подходит.
- При \(x=1\): \(\sqrt{1} = 1\), \(2 — 1 = 1\). Подходит.
Ответ: \(x = 1\).
3) Уравнение \(\sqrt{x} = \frac{1}{x}\)
Правая часть — гипербола \(y = \frac{1}{x}\), левая — \(y = \sqrt{x}\), определённая при \(x \geq 0\), причем \(x \neq 0\) из-за деления.
- Область определения: \(x > 0\).
- График \(y = \sqrt{x}\): как и ранее.
- График \(y = \frac{1}{x}\): убывающая гипербола, стремящаяся к бесконечности при \(x \to 0^+\), и к нулю при \(x \to +\infty\).
Приравняем функции:
\[
\sqrt{x} = \frac{1}{x}
\]
Возведём обе части в квадрат:
\[
x = \frac{1}{x^2}
\]
\[
x^3 = 1
\]
\[
x = 1
\]
Проверим корень в исходном уравнении:
\[
\sqrt{1} = 1, \quad \frac{1}{1} = 1
\]
Корень подходит.
Ответ: \(x = 1\).
Итог:
- Для уравнения \(\sqrt{x} = -x — 1\) решений нет.
- Для уравнения \(\sqrt{x} = 2 — x\) единственное решение \(x = 1\).
- Для уравнения \(\sqrt{x} = \frac{1}{x}\) единственное решение \(x = 1\).
Графический метод позволяет наглядно увидеть, как и где пересекаются графики функций, и таким образом найти решения уравнений с корнем.
Алгебра
