ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 9.54 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите графически уравнение:

1) \( \sqrt{x} = -x — 1; \)

2) \( \sqrt{x} = 2 — x; \)

3) \( \sqrt{x} = \frac{1}{x}. \)

Решить графически уравнение:

1) \(\sqrt{x} = -x — 1;\)

\(y = \sqrt{x}\) – уравнение ветви параболы:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0;\)

\(y = -x — 1\) – уравнение прямой:

Ответ: корней нет.

2) \(\sqrt{x} = 2 — x;\)

\(y = \sqrt{x}\) – уравнение ветви параболы:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0;\)

\(y = 2 — x\) – уравнение прямой:

Ответ: \(x = 1.\)

3) \(\sqrt{x} = \frac{1}{x};\)

\(y = \sqrt{x}\) – уравнение ветви параболы:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0;\)

\(y = \frac{1}{x}\) – уравнение гиперболы:
\(x_0 = 0\) и \(y_0 = 0;\)

Ответ: \(x = 1.\)

Решение графическим методом уравнений с корнем:

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности, построим графики соответствующих функций и найдем точки пересечения, которые и будут решением уравнения.

1) Уравнение \(\sqrt{x} = -x — 1\)

Правая часть уравнения — линейная функция \(y = -x — 1\), левая — корень \(y = \sqrt{x}\), определённый только при \(x \geq 0\).

• Область определения: \(x \geq 0\), так как подкоренное выражение неотрицательно.
• График \(y = \sqrt{x}\): начинается в точке \((0,0)\), растёт медленно, для \(x=1\) значение \(y=1\), для \(x=4\) — \(y=2\), для \(x=9\) — \(y=3\).
• График \(y = -x — 1\): прямая с отрицательным наклоном, пересекает ось \(y\) в точке \((0,-1)\), для \(x=2\) значение \(y=-3\).

Поскольку \(y = \sqrt{x} \geq 0\) для всех \(x \geq 0\), а \(y = -x — 1 \leq -1 < 0\) для всех \(x \geq 0\), графики не пересекаются.

Ответ: решений нет.

2) Уравнение \(\sqrt{x} = 2 — x\)

Правая часть — линейная функция \(y = 2 — x\), левая — \(y = \sqrt{x}\), определённая при \(x \geq 0\).

• Область определения: \(x \geq 0\).
• График \(y = \sqrt{x}\): как и в предыдущем случае.
• График \(y = 2 — x\): прямая с наклоном \(-1\), пересекающая ось \(y\) в точке \((0,2)\), и ось \(x\) в точке \((2,0)\).

Найдём точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции:

\[
\sqrt{x} = 2 — x
\]

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что \(2 — x \geq 0\), то есть \(x \leq 2\)):

\[x = (2 — x)^2 = 4 — 4x + x^2\]

\[x^2 — 5x + 4 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 — 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}\]

\[x_1 = 4, \quad x_2 = 1\]

Проверим оба корня на исходном уравнении и области определения:

• При \(x=4\): \(\sqrt{4} = 2\), а \(2 — 4 = -2\). Неравенство \(2 — x \geq 0\) не выполняется, значит \(x=4\) не подходит.
• При \(x=1\): \(\sqrt{1} = 1\), \(2 — 1 = 1\). Подходит.

Ответ: \(x = 1\).

3) Уравнение \(\sqrt{x} = \frac{1}{x}\)

Правая часть — гипербола \(y = \frac{1}{x}\), левая — \(y = \sqrt{x}\), определённая при \(x \geq 0\), причем \(x \neq 0\) из-за деления.

• Область определения: \(x > 0\).
• График \(y = \sqrt{x}\): как и ранее.
• График \(y = \frac{1}{x}\): убывающая гипербола, стремящаяся к бесконечности при \(x \to 0^+\), и к нулю при \(x \to +\infty\).

Приравняем функции:

\[
\sqrt{x} = \frac{1}{x}
\]

Возведём обе части в квадрат:

\[x = \frac{1}{x^2}\]

\[x^3 = 1\]

\[x = 1\]

Проверим корень в исходном уравнении:

\[
\sqrt{1} = 1, \quad \frac{1}{1} = 1
\]

Корень подходит.

Ответ: \(x = 1\).

Итог:

• Для уравнения \(\sqrt{x} = -x — 1\) решений нет.
• Для уравнения \(\sqrt{x} = 2 — x\) единственное решение \(x = 1\).
• Для уравнения \(\sqrt{x} = \frac{1}{x}\) единственное решение \(x = 1\).

Графический метод позволяет наглядно увидеть, как и где пересекаются графики функций, и таким образом найти решения уравнений с корнем.