Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 807 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Биссектриса угла BAD параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М так, что ВМ : МС = 5 : 4. Найдите стороны параллелограмма, если периметр треугольника ВОС на 8 см больше периметра треугольника COD, где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма.
Дано: ABCD — параллелограмм; AM — биссектриса угла A; BM : MC = 5 : 4; \(P_{BOC} = P_{COD} + 8\) см.
Найти: AB, BC.
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, поэтому AO = CO и BO = DO.
Поскольку AM — биссектриса угла A, а AD || BC, то по свойству биссектрисы и параллельных прямых \(\angle BAM = \angle DAM = \angle BMA\). Следовательно, треугольник ABM равнобедренный, и AB = BM.
Из условия BM : MC = 5 : 4 следуем, что если MC = 4x, то BM = 5x, откуда BC = BM + MC = 5x + 4x = 9x.
Поскольку AB = BM = 5x, то AB = 5x.
В треугольнике BOC периметр равен \(P_{BOC} = BO + OC + BC = BO + OC + 9x\).
В треугольнике COD периметр равен \(P_{COD} = CO + OD + CD = CO + OD + AB = OC + OD + 5x\).
Поскольку BO = OD, то \(P_{BOC} — P_{COD} = (BO + OC + 9x) — (OC + OD + 5x) = 9x — 5x = 4x\).
По условию \(P_{BOC} = P_{COD} + 8\), поэтому \(4x = 8\), откуда \(x = 2\).
Следовательно:
— AB = 5x = 5 · 2 = 10 см
— BC = 9x = 9 · 2 = 18 см
Ответ: AB = 10 см, BC = 18 см.
Дано: ABCD — параллелограмм; AM — биссектриса угла A; BM : MC = 5 : 4; \(P_{BOC} = P_{COD} + 8\) см.
Найти: AB, BC.
Рассмотрим параллелограмм ABCD. В параллелограмме диагонали пересекаются в точке O и делятся пополам, поэтому AO = CO и BO = DO.
Поскольку ABCD — параллелограмм, то AD || BC. AM является биссектрисой угла BAD, следовательно \(\angle BAM = \angle DAM\).
При пересечении параллельных прямых AD и BC секущей AM образуются накрест лежащие углы. Поэтому \(\angle DAM = \angle BMA\) как накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей AM.
Из равенств \(\angle BAM = \angle DAM\) и \(\angle DAM = \angle BMA\) получаем \(\angle BAM = \angle BMA\).
В треугольнике ABM углы при основании равны: \(\angle BAM = \angle BMA\), следовательно треугольник ABM равнобедренный с основанием AM. Поэтому AB = BM.
По условию BM : MC = 5 : 4. Обозначим MC = 4k, тогда BM = 5k, где k — некоторый положительный коэффициент.
Поскольку точки B, M, C лежат на одной прямой (стороне BC параллелограмма), то BC = BM + MC = 5k + 4k = 9k.
Из равенства AB = BM получаем AB = 5k.
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = 5k и AD = BC = 9k.
Рассмотрим треугольник BOC. Его периметр равен \(P_{BOC} = BO + OC + BC = BO + OC + 9k\).
Рассмотрим треугольник COD. Его периметр равен \(P_{COD} = CO + OD + CD = OC + OD + 5k\).
Поскольку диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то BO = OD.
Найдем разность периметров:
\(P_{BOC} — P_{COD} = (BO + OC + 9k) — (OC + OD + 5k) = BO + OC + \)
\(+9k — OC — OD — 5k = BO — OD + 4k\)
Поскольку BO = OD, то BO — OD = 0, следовательно:
\(P_{BOC} — P_{COD} = 4k\)
По условию \(P_{BOC} = P_{COD} + 8\), что означает \(P_{BOC} — P_{COD} = 8\).
Приравнивая полученные выражения: \(4k = 8\), откуда \(k = 2\).
Подставляем найденное значение k:
AB = 5k = 5 × 2 = 10 см
BC = 9k = 9 × 2 = 18 см
Проверим правильность решения. При k = 2 имеем BM = 10 см, MC = 8 см, BC = 18 см, AB = CD = 10 см.
Ответ: AB = 10 см, BC = 18 см.
