Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 810 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сколько разных параллелограммов можно составить из двух равных треугольников, если они: 1) разносторонние; 2) равнобедренные; 3) равносторонние?
1) Диагонали четырехугольника равны:
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD не обязательно равны. Равенство диагоналей характерно для прямоугольника, но не для всех четырехугольников.
Ответ: нет.
2) Стороны параллельны и точка пересечения диагоналей равноудалена от данных сторон:
Дано: \(AB \parallel CD\), \(OE \perp AB\), \(OF \perp CD\), \(OE = OF\)
Из условия \(\angle COF = \angle AOE\), \(\angle BOE = \angle DOF\), \(OE = OF\) следует:
\(\angle CFO = \angle DFO = \angle AEO = \angle BEO = 90°\)
Треугольники \(\triangle AEO = \triangle CFO\), \(\triangle BEO = \triangle DFO\)
Получаем: \(AE = CF\), \(BE = DF\), \(AB = CD\)
Значит, ABCD — параллелограмм.
Ответ: да.
3) Две стороны четырехугольника параллельны, а две другие стороны четырехугольника равны:
В четырехугольнике ABCD если \(BC \parallel AD\) и \(AB = CD\), это не гарантирует, что фигура является параллелограммом. Это может быть равнобедренная трапеция.
Ответ: нет.
4) Биссектрисы двух противолежащих углов перпендикулярны биссектрисе третьего угла:
Дано: \(\angle BAH + \angle ABH = 180° — \angle AHB = 90°\)
Значит: \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 90°\), откуда \(\angle A + \angle B = 180°\)
Аналогично: \(\angle CBF + \angle BCF = 180° — \angle BFC = 90°\)
Получаем: \(\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C = 90°\), откуда \(\angle B + \angle C = 180°\)
Следовательно: \(AD \parallel BC\), \(AB \parallel CD\)
ABCD — параллелограмм.
Ответ: да.
5) Диагональ данного четырехугольника разбивает его на два равных треугольника:
В произвольном четырехугольнике ABCD диагональ AC разбивает его на треугольники ABC и ACD, которые не обязательно равны.
Ответ: нет.
6) Каждая диагональ четырехугольника разбивает его на два равных треугольника:
Если \(\triangle ABC = \triangle ADC\) и \(\triangle ABD = \triangle CBD\), то:
При \(AB = CD\) получаем \(BC = AD\) — ABCD параллелограмм.
При \(AB = AD\) получаем \(BC = CD = AB = AD\) — ABCD ромб.
Ответ: да.
7) Каждые две противолежащие стороны этого четырехугольника равноудалены от диагонали:
Дано: \(\angle BGI = \angle DHI = 90°\), \(\angle BIG = \angle DIH\)
Получаем: \(BG = DH\), \(\triangle BIG = \triangle DIH\)
Аналогично: \(\angle AEI = \angle CFI = 90°\), \(\angle AIE = \angle CIF\)
Получаем: \(AE = CF\), \(\triangle AIE = \triangle CIF\)
Следовательно: \(BI = DI\), \(AI = CI\)
ABCD — параллелограмм.
Ответ: да.
1) Диагонали четырехугольника равны
В произвольном четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD могут иметь разную длину. Равенство диагоналей \(AC = BD\) является характерным свойством прямоугольника, но не всех четырехугольников. Например, в ромбе диагонали не равны, а в произвольной трапеции диагонали также могут быть разной длины. Поэтому данное условие не является достаточным для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.
Ответ: нет.
2) Стороны параллельны и точка пересечения диагоналей равноудалена от данных сторон
Пусть в четырехугольнике ABCD стороны \(AB \parallel CD\), диагонали пересекаются в точке O, и \(OE \perp AB\), \(OF \perp CD\), где \(OE = OF\). Поскольку \(AB \parallel CD\), то углы \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) являются вертикальными, следовательно \(\angle AOB = \angle COD\). Аналогично \(\angle BOC = \angle AOD\). Из равенства расстояний \(OE = OF\) и параллельности сторон следует, что треугольники \(\triangle AOE\) и \(\triangle COF\) равны по гипотенузе и катету. Отсюда \(AO = CO\) и \(AE = CF\). Аналогично из равенства треугольников \(\triangle BOE\) и \(\triangle DOF\) получаем \(BO = DO\) и \(BE = DF\). Следовательно, \(AB = AE + BE = CF + DF = CD\). Поскольку \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\), четырехугольник ABCD является параллелограммом.
Ответ: да.
3) Две стороны четырехугольника параллельны, а две другие стороны четырехугольника равны
Пусть в четырехугольнике ABCD выполняется \(BC \parallel AD\) и \(AB = CD\). Это условие описывает равнобедренную трапецию, которая не является параллелограммом. В равнобедренной трапеции только одна пара противоположных сторон параллельна, а другая пара сторон равна, но не параллельна. Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо, чтобы обе пары противоположных сторон были параллельны, что в данном случае не выполняется.
Ответ: нет.
4) Биссектрисы двух противолежащих углов перпендикулярны биссектрисе третьего угла
Пусть в четырехугольнике ABCD биссектрисы углов A и B пересекаются в точке H, а биссектриса угла C проходит через точку F. Если биссектрисы углов A и B перпендикулярны биссектрисе угла C, то \(\angle AHB = 90°\). В треугольнике ABH сумма углов равна \(180°\), поэтому \(\angle BAH + \angle ABH = 180° — 90° = 90°\). Поскольку AH и BH — биссектрисы, то \(\angle BAH = \frac{1}{2}\angle A\) и \(\angle ABH = \frac{1}{2}\angle B\). Следовательно, \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 90°\), откуда \(\angle A + \angle B = 180°\). Это означает, что стороны AD и BC параллельны. Аналогично, если биссектрисы углов B и C перпендикулярны биссектрисе угла A, получаем \(\angle B + \angle C = 180°\), что означает параллельность сторон AB и CD. Таким образом, ABCD — параллелограмм.
Ответ: да.
5) Диагональ данного четырехугольника разбивает его на два равных треугольника
В произвольном четырехугольнике ABCD диагональ AC разбивает его на треугольники ABC и ACD. Для того чтобы эти треугольники были равны, необходимо выполнение условий равенства треугольников. Однако в общем случае треугольники ABC и ACD имеют общую сторону AC, но другие стороны и углы могут быть различными. Равенство этих треугольников не гарантируется только тем фактом, что они образованы диагональю четырехугольника. Например, в произвольной трапеции диагональ не разбивает фигуру на равные треугольники.
Ответ: нет.
6) Каждая диагональ четырехугольника разбивает его на два равных треугольника
Пусть в четырехугольнике ABCD диагональ AC разбивает его на равные треугольники: \(\triangle ABC = \triangle ACD\), а диагональ BD разбивает его на равные треугольники: \(\triangle ABD = \triangle CBD\). Из равенства \(\triangle ABC = \triangle ACD\) следует, что \(AB = CD\), \(BC = AD\), и \(\angle BAC = \angle DCA\). Из равенства \(\triangle ABD = \triangle CBD\) следует, что \(AB = CD\), \(AD = BC\), и \(\angle ABD = \angle CDB\). Поскольку противоположные стороны равны (\(AB = CD\) и \(BC = AD\)), четырехугольник ABCD является параллелограммом. Дополнительно, если все стороны равны, то это ромб.
Ответ: да.
7) Каждые две противолежащие стороны этого четырехугольника равноудалены от диагонали
Пусть в четырехугольнике ABCD диагональ AC пересекается с перпендикулярами, опущенными из точек B и D, в точках G и H соответственно, причем \(BG = DH\). Аналогично, диагональ BD пересекается с перпендикулярами, опущенными из точек A и C, в точках E и F соответственно, причем \(AE = CF\). Из равенства расстояний \(BG = DH\) и того факта, что углы \(\angle BGA = \angle DHC = 90°\), а также из равенства углов при пересечении диагоналей, следует равенство треугольников \(\triangle BGA = \triangle DHC\). Отсюда \(BA = DC\) и \(GA = HC\). Аналогично из равенства \(AE = CF\) получаем \(AB = CD\) и \(AD = BC\). Следовательно, противоположные стороны равны, и ABCD — параллелограмм.
Ответ: да.
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
