Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 812 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Верно ли утверждение:
1) если две стороны четырехугольника параллельны, а одна из диагоналей разбивает четырехугольник на два равных треугольника, то этот четырехугольник — параллелограмм;
2) если две стороны четырехугольника параллельны, а точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм;
3) если две противолежащие стороны четырехугольника равны и его диагонали равны, то этот четырехугольник — параллелограмм?
Для первого случая: если две стороны параллельны и одна из диагоналей разбивает четырехугольник на равные треугольники, то из равенства треугольников \(\triangle ABD = \triangle CBD\) следует \(AB = CD\). Поскольку \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC\), получаем четырехугольник с попарно равными противоположными сторонами, что является признаком параллелограмма.
Для второго случая: если две стороны параллельны и точка пересечения диагоналей делит одну из диагоналей пополам, то из условия \(BO = DO\) и равенства треугольников \(\triangle AOD = \triangle BOC\) получаем \(AO = CO\). Значит, диагонали делят друг друга пополам, что является признаком параллелограмма.
Для третьего случая: условие о равенстве двух противолежащих сторон и равенстве диагоналей не гарантирует параллелограмм. Контрпример — равнобедренная трапеция, где \(AD = BC\) (основания), \(AC = BD\) (диагонали равны), но \(AB \neq CD\) и стороны \(AB\) и \(CD\) не параллельны.
Ответы: да, да, нет.
1) Дано: \(AD \parallel BC\), \(\angle ADB = \angle CBD\), \(\triangle ABD = \triangle CBD\), \(AD = BC\).
Из равенства треугольников \(\triangle ABD = \triangle CBD\) следует, что \(AB = CD\). Поскольку \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC\), а также \(AB = CD\), четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом по признаку: противоположные стороны попарно равны и параллельны.
Ответ: да.
2) Дано: \(AD \parallel BC\), \(\angle ADB = \angle CBD\), \(BO = DO\), \(\angle BOC = \angle AOD\), \(\triangle AOD = \triangle BOC\), \(AD = BC\).
Из условия \(BO = DO\) следует, что точка \(O\) делит диагональ \(BD\) пополам. Из равенства треугольников \(\triangle AOD = \triangle BOC\) получаем \(AO = CO\), значит, точка \(O\) также делит диагональ \(AC\) пополам. Если диагонали четырехугольника пересекаются и делят друг друга пополам, то это параллелограмм.
Ответ: да.
3) Условие: две противоположные стороны равны и диагонали равны.
Это условие не гарантирует, что четырехугольник является параллелограммом. Например, равнобедренная трапеция имеет равные диагонали и одну пару равных противоположных сторон (основания), но не является параллелограммом, так как боковые стороны не параллельны.
Ответ: нет.
