Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 814 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Угол при вершине В ромба ABCD равен 40°, точки М и К — основания перпендикуляров, опущенных из вершины А на стороны ВС и CD соответственно. Найдите углы треугольника АМК.
Дано: ABCD — ромб, \(\angle B = 40°\), AK ⊥ CD, AM ⊥ BC.
Найти: \(\angle KAM\), \(\angle AKM\), \(\angle AMK\).
В ромбе противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D = 40°\). Сумма соседних углов равна 180°: \(\angle A + \angle B = 180°\), откуда \(\angle A = 180° — 40° = 140°\).
В прямоугольном треугольнике AMB: \(\angle BAM + \angle ABM = 90°\), следовательно \(\angle BAM + 40° = 90°\), откуда \(\angle BAM = 50°\).
Рассмотрим треугольники AKD и AMB. В них: AD = AB (стороны ромба), \(\angle D = \angle B = 40°\), \(\angle K = \angle M = 90°\). Треугольники равны по гипотенузе и острому углу, поэтому AK = AM и \(\angle DAK = \angle BAM = 50°\).
Треугольник KAM равнобедренный, так как AK = AM. Угол \(\angle KAM = \angle A — \angle DAK — \angle BAM = 140° — 50° — 50° = 40°\).
В равнобедренном треугольнике KAM углы при основании равны: \(\angle AKM = \angle AMK\). Сумма углов треугольника: \(\angle AKM + \angle AMK + \angle KAM = 180°\), откуда \(2\angle AKM + 40° = 180°\), следовательно \(2\angle AKM = 140°\), \(\angle AKM = 70°\).
Ответ: \(\angle KAM = 40°\), \(\angle AKM = 70°\), \(\angle AMK = 70°\).
Дано: ABCD — ромб, \(\angle B = 40°\), AK ⊥ CD, AM ⊥ BC.
Найти: \(\angle KAM\), \(\angle AKM\), \(\angle AMK\).
Рассмотрим ромб ABCD. В ромбе противоположные углы равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°. Поскольку \(\angle B = 40°\), то противоположный ему угол \(\angle D = 40°\). Углы A и C также равны между собой как противоположные углы ромба.
Найдем угол A. Поскольку углы A и B являются соседними углами ромба, их сумма равна 180°: \(\angle A + \angle B = 180°\). Подставляя известное значение: \(\angle A + 40° = 180°\), откуда \(\angle A = 180° — 40° = 140°\).
Аналогично, \(\angle C = \angle A = 140°\).
Поскольку в ромбе все стороны равны, то AB = BC = CD = DA.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AMB. В этом треугольнике AM ⊥ BC, следовательно \(\angle AMB = 90°\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому: \(\angle BAM + \angle ABM = 90°\).
Поскольку \(\angle ABM = \angle B = 40°\), получаем: \(\angle BAM + 40° = 90°\), откуда \(\angle BAM = 90° — 40° = 50°\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник AKD. В этом треугольнике AK ⊥ CD, следовательно \(\angle AKD = 90°\). Аналогично предыдущему случаю: \(\angle DAK + \angle ADK = 90°\).
Поскольку \(\angle ADK = \angle D = 40°\), получаем: \(\angle DAK + 40° = 90°\), откуда \(\angle DAK = 90° — 40° = 50°\).
Сравним треугольники AKD и AMB. В треугольнике AKD: AD — гипотенуза, \(\angle D = 40°\), \(\angle AKD = 90°\). В треугольнике AMB: AB — гипотенуза, \(\angle B = 40°\), \(\angle AMB = 90°\).
Поскольку AD = AB (стороны ромба), \(\angle D = \angle B = 40°\), и оба треугольника прямоугольные, треугольники AKD и AMB равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что AK = AM и \(\angle DAK = \angle BAM = 50°\).
Найдем угол KAM. Угол A ромба можно разложить на три части: \(\angle A = \angle DAK + \angle KAM + \angle BAM\).
Подставляя известные значения: \(140° = 50° + \angle KAM + 50°\), откуда \(\angle KAM = 140° — 50° — 50° = 40°\).
Рассмотрим треугольник KAM. Поскольку AK = AM (доказано выше), треугольник KAM является равнобедренным с основанием KM. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \(\angle AKM = \angle AMK\).
Применим теорему о сумме углов треугольника для треугольника KAM: \(\angle KAM + \angle AKM + \angle AMK = 180°\).
Поскольку \(\angle AKM = \angle AMK\), получаем: \(\angle KAM + 2\angle AKM = 180°\).
Подставляя \(\angle KAM = 40°\): \(40° + 2\angle AKM = 180°\), откуда \(2\angle AKM = 180° — 40° = 140°\), следовательно \(\angle AKM = 70°\).
Поскольку \(\angle AMK = \angle AKM\), то \(\angle AMK = 70°\).
Проверим правильность решения: \(\angle KAM + \angle AKM + \angle AMK = 40° + 70° + 70° = 180°\) — верно.
Ответ: \(\angle KAM = 40°\), \(\angle AKM = 70°\), \(\angle AMK = 70°\).
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
