Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 817 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На диагонали АС ромба ABCD отметили точки М и К так, что \(АМ = СК\). Докажите, что \(L_ABM = Z_CBK\).
Рассмотрим ромб ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам, поэтому \(BD \perp AC\) и \(AO = CO\).
Поскольку BD является диагональю ромба, она является биссектрисой углов B и D, следовательно \(\angle ABD = \angle CBD\).
Рассмотрим треугольник MBK. Поскольку \(AM = CK\) по условию, то:
\(OM = AO — AM\)
\(OK = CO — CK = AO — AM = OM\)
Таким образом, \(OM = OK\), что означает, что треугольник MBK равнобедренный с основанием MK.
В равнобедренном треугольнике MBK отрезок BO является одновременно медианой, высотой и биссектрисой, проведенной к основанию MK. Следовательно, \(\angle MBO = \angle KBO\).
Теперь рассмотрим углы:
\(\angle ABM = \angle ABO + \angle MBO\)
\(\angle CBK = \angle CBO — \angle KBO\)
Поскольку \(\angle ABO = \angle CBO\) (так как BO — биссектриса угла ABC в ромбе) и \(\angle MBO = \angle KBO\), получаем:
\(\angle ABM = \angle ABO + \angle MBO = \angle CBO + \angle KBO = \angle CBK\)
Таким образом, \(\angle ABM = \angle CBK\), что и требовалось доказать.
Дано: ABCD — ромб, AM = CK, где M и K — точки на сторонах AB и BC соответственно. Требуется доказать, что \(\angle ABM = \angle CBK\).
Рассмотрим ромб ABCD. По свойствам ромба диагонали BD и AC пересекаются под прямым углом в точке O и делят друг друга пополам. Следовательно, \(BD \perp AC\) и \(AO = CO\).
Поскольку ABCD — ромб, все его стороны равны: \(AB = BC = CD = DA\). Диагональ BD является биссектрисой углов B и D, поэтому \(\angle ABD = \angle CBD\).
Поскольку O — середина диагонали AC, имеем \(AO = CO\). По условию \(AM = CK\), поэтому:
\(OM = AO — AM\)
\(OK = CO — CK = AO — AM = OM\)
Таким образом, \(OM = OK\), что означает, что в треугольнике MBK отрезки OM и OK равны.
Поскольку O лежит на диагонали BD ромба, а \(OM = OK\), треугольник MBK является равнобедренным с вершиной B и основанием MK. В равнобедренном треугольнике отрезок, проведенный из вершины к середине основания, является одновременно медианой, высотой и биссектрисой.
Поскольку O — середина MK (так как \(OM = OK\)), отрезок BO является биссектрисой угла MBK. Следовательно, \(\angle MBO = \angle KBO\).
Рассмотрим углы \(\angle ABM\) и \(\angle CBK\):
\(\angle ABM = \angle ABO + \angle MBO\)
\(\angle CBK = \angle CBO — \angle KBO\)
В ромбе диагональ BD является биссектрисой угла ABC, поэтому \(\angle ABO = \angle CBO\).
Поскольку \(\angle MBO = \angle KBO\) (доказано выше), получаем:
\(\angle ABM = \angle ABO + \angle MBO\)
\(\angle CBK = \angle CBO — \angle KBO = \angle ABO — \angle MBO\)
Однако это неверно. Правильно рассуждать следующим образом:
Поскольку BO — биссектриса в равнобедренном треугольнике MBK, имеем \(\angle MBO = \angle KBO\).
Угол \(\angle ABM\) можно записать как \(\angle ABM = \angle ABO — \angle MBO\) (если M лежит между A и точкой пересечения луча BO со стороной AB).
Угол \(\angle CBK\) можно записать как \(\angle CBK = \angle CBO — \angle KBO\).
Поскольку \(\angle ABO = \angle CBO\) (BO — биссектриса угла ABC) и \(\angle MBO = \angle KBO\), получаем:
\(\angle ABM = \angle ABO — \angle MBO = \angle CBO — \angle KBO = \angle CBK\)
Таким образом, \(\angle ABM = \angle CBK\), что и требовалось доказать.
