Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 819 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Верно ли утверждение:
1) если диагонали четырехугольника равны, то этот четырехугольник — прямоугольник;
2) если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то этот четырехугольник — квадрат;
3) если диагонали четырехугольника перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — квадрат;
4) если диагонали четырехугольника равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — квадрат;
5) если три стороны четырехугольника равны, а диагональ является биссектрисой одного из его углов, то этот четырехугольник — ромб?
Рассмотрим каждое утверждение для четырехугольника ABCD:
1) Диагонали четырехугольника равны: AC = BD
На рисунке видно ромб, где диагонали не равны. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам, но не равны между собой.
Ответ: нет.
2) Диагонали равны и перпендикулярны: AC = BD и AC ⊥ BD
Изображен прямоугольник с перпендикулярными диагоналями. В прямоугольнике диагонали равны, но не перпендикулярны (кроме случая квадрата).
Ответ: нет.
3) Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся на две равные части
Показан ромб, где диагонали действительно перпендикулярны и делятся пополам: AC ⊥ BD, AE = EC, BE = ED. Но этого недостаточно для определения конкретного четырехугольника.
Ответ: нет.
4) Диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам
Дано: BD = AC, BI = DI, AI = CI
Из равенства диагоналей и их взаимного деления пополам: AI = BI = CI = DI
Диагонали перпендикулярны: BD ⊥ AC
Треугольники равны: \(△AIB = △BIC = △CID = △DIA\)
Все стороны равны: AB = BC = CD = AD
Углы: \(∠BAI = ∠DAI = 45°\)
\(∠A = ∠BAI + ∠DAI = 90°\)
ABCD — квадрат.
Ответ: да.
5) Три стороны четырехугольника равны, а диагональ является биссектрисой угла
Показан четырехугольник с тремя равными сторонами и диагональю-биссектрисой. Однако этих условий недостаточно для однозначного определения типа четырехугольника.
Ответ: нет.
Проанализируем каждое утверждение о четырехугольнике ABCD с максимальной детализацией.
Утверждение 1: Диагонали четырехугольника равны
На рисунке изображен четырехугольник в форме ромба. В ромбе противоположные стороны параллельны и все стороны равны: \(AB = BC = CD = DA\). Диагонали ромба обладают следующими свойствами: они перпендикулярны друг другу и делятся пополам в точке пересечения, но не равны между собой. Если бы диагонали были равны \(AC = BD\), то вместе с условием перпендикулярности и деления пополам это означало бы, что фигура является квадратом. Однако на рисунке видно, что диагонали имеют разную длину: вертикальная диагональ \(CD\) короче горизонтальной диагонали \(AB\). Следовательно, \(AC \neq BD\).
Ответ: нет.
Утверждение 2: Диагонали равны и перпендикулярны
На втором рисунке изображен четырехугольник, который выглядит как прямоугольник с добавленными перпендикулярными линиями. В прямоугольнике диагонали равны: \(AC = BD\), и они делятся пополам в точке пересечения \(E\): \(AE = EC\) и \(BE = ED\). Однако диагонали прямоугольника не перпендикулярны друг другу. Угол между диагоналями в прямоугольнике зависит от отношения сторон и равен \(90°\) только в случае квадрата. На рисунке показан именно прямоугольник, не квадрат, поэтому \(AC \not\perp BD\). Хотя диагонали равны \(AC = BD\), они не перпендикулярны.
Ответ: нет.
Утверждение 3: Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся на две равные части
На третьем рисунке показан ромб с точкой пересечения диагоналей \(E\). В ромбе диагонали действительно перпендикулярны: \(AC \perp BD\), и они делятся пополам: \(AE = EC\) и \(BE = ED\). Эти свойства характерны для ромба. Однако только этих двух условий недостаточно для полного определения типа четырехугольника. Ромб может иметь различные углы (кроме \(90°\)), и его диагонали могут иметь различные длины. Данные условия не гарантируют, что четырехугольник является квадратом или имеет какие-либо другие специфические свойства. Утверждение описывает необходимые, но не достаточные условия для определения конкретного типа четырехугольника.
Ответ: нет.
Утверждение 4: Диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам
Дано: \(BD = AC\) (диагонали равны), \(BI = DI\) и \(AI = CI\) (диагонали делятся пополам), \(BD \perp AC\) (диагонали перпендикулярны).
Из условия деления диагоналей пополам в точке \(I\) получаем: \(AI = \frac{AC}{2}\) и \(BI = \frac{BD}{2}\).
Поскольку \(BD = AC\), то \(AI = BI\). Аналогично, \(CI = \frac{AC}{2} = AI\) и \(DI = \frac{BD}{2} = BI\).
Следовательно: \(AI = BI = CI = DI\).
Рассмотрим треугольники, образованные диагоналями:
— \(\triangle AIB\): \(AI = BI\), \(\angle AIB = 90°\) (прямоугольный равнобедренный)
— \(\triangle BIC\): \(BI = CI\), \(\angle BIC = 90°\) (прямоугольный равнобедренный)
— \(\triangle CID\): \(CI = DI\), \(\angle CID = 90°\) (прямоугольный равнобедренный)
— \(\triangle DIA\): \(DI = AI\), \(\angle DIA = 90°\) (прямоугольный равнобедренный)
Все треугольники равны: \(\triangle AIB = \triangle BIC = \triangle CID = \triangle DIA\).
Из равенства треугольников следует равенство всех сторон четырехугольника: \(AB = BC = CD = AD\).
В прямоугольном равнобедренном треугольнике \(\triangle AIB\): \(\angle BAI = \angle ABI = 45°\).
Аналогично: \(\angle DAI = 45°\).
Угол \(\angle A = \angle BAI + \angle DAI = 45° + 45° = 90°\).
По симметрии все углы четырехугольника равны \(90°\).
Четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами является квадратом.
Ответ: да.
Утверждение 5: Три стороны четырехугольника равны, а диагональ является биссектрисой угла
На рисунке показан четырехугольник с тремя равными сторонами и диагональю, которая является биссектрисой одного из углов. Предположим, что \(AB = BC = CD\) и диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(\angle BAD\). Это означает, что \(\angle BAC = \angle CAD\). Однако этих условий недостаточно для однозначного определения четырехугольника. Четвертая сторона \(AD\) может иметь различную длину, углы четырехугольника могут варьироваться в широких пределах, и общая форма четырехугольника не определена однозначно. Существует множество четырехугольников, удовлетворяющих данным условиям, но не имеющих специальных свойств или названий. Условие не определяет конкретный тип четырехугольника.
Ответ: нет.
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
