Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 822 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Постройте параллелограмм по его вершине и серединам сторон, которым эта вершина не принадлежит.
Дано: вершина M параллелограмма и середины E, F двух не прилежащих сторон.
Отмечаем точку H — середину отрезка EF. Поскольку E и F являются серединами противоположных сторон параллелограмма, точка H является центром параллелограмма.
Делим отрезок MH на три равные части. Пусть точка O делит MH в отношении 2:1 от M, то есть \(MO = \frac{2}{3}MH\).
В параллелограмме центр делит диагонали пополам, поэтому если MPQR — искомый параллелограмм с центром H, то диагонали MP и QR пересекаются в точке H.
Поскольку M — вершина, а H — центр, то противоположная вершина P находится так, что H — середина MP. Следовательно, \(\overrightarrow{HP} = -\overrightarrow{HM}\).
На луче MH откладываем отрезок HK = OH. Тогда K — точка, симметричная O относительно H.
Поскольку E — середина одной стороны параллелограмма, а F — середина противоположной стороны, то на луче KE откладываем отрезок EN = KE, получая точку N.
Аналогично, на луче KF откладываем отрезок FT = KF, получая точку T.
В результате построений получаем параллелограмм MNTK, где:
— M — данная вершина
— N получена отражением K относительно E
— T получена отражением K относительно F
— K получена из геометрических построений с использованием центра H
Искомый параллелограмм имеет вершины M, N, T и четвертую вершину, которая определяется из условия параллелограмма.
Дано: точка M — вершина параллелограмма, точки E и F — середины двух не прилежащих сторон параллелограмма.
Требуется построить весь параллелограмм.
Пусть искомый параллелограмм имеет вершины A, B, C, D, где M совпадает с одной из вершин, например A. Тогда E — середина стороны BC, а F — середина стороны AD.
Поскольку E и F — середины противоположных сторон параллелограмма, отрезок EF проходит через центр параллелограмма. Отмечаем точку H — середину отрезка EF. Эта точка является центром искомого параллелограмма.
В любом параллелограмме центр является точкой пересечения диагоналей и делит каждую диагональ пополам. Следовательно, если M — одна вершина, то противоположная ей вершина C находится так, что H — середина отрезка MC.
Для нахождения остальных вершин используем свойство параллелограмма: центр делит отрезок, соединяющий любую вершину с серединой противоположной стороны, в отношении 2:1, считая от вершины.
Отрезок MH соединяет вершину M с центром H. Делим отрезок MH на три равные части. Точка O делит MH в отношении 2:1 от M, то есть \(MO = \frac{2}{3}MH\) и \(OH = \frac{1}{3}MH\).
Свойство параллелограмма: если провести отрезок от вершины к середине противоположной стороны (медиана), то центр параллелограмма делит этот отрезок в отношении 2:1 от вершины.
На луче MH откладываем от точки H отрезок HK = OH в противоположную от M сторону. Тогда \(MK = MH + HK = MH + \frac{1}{3}MH = \frac{4}{3}MH\).
Точка K играет ключевую роль в построении. Используя свойства параллелограмма и тот факт, что E и F — середины сторон, можем найти остальные вершины.
Поскольку E — середина стороны BC, а K связана с геометрией параллелограмма через центр H, на луче KE откладываем отрезок EN = KE. Точка N получается отражением точки K относительно точки E.
Аналогично, поскольку F — середина стороны AD, на луче KF откладываем отрезок FT = KF. Точка T получается отражением точки K относительно точки F.
Построенные точки N и T являются вершинами искомого параллелограмма. Четвертая вершина определяется из условия параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны.
Проверим правильность построения: в полученной фигуре MNTK (где четвертая вершина может быть найдена как пересечение прямых, параллельных сторонам) точки E и F действительно являются серединами противоположных сторон, а M — заданная вершина.
Геометрическое обоснование: использованный метод основан на том, что в параллелограмме отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, проходит через центр и равен половине суммы этих сторон. Построения с точками O, K, N, T обеспечивают правильное восстановление всех вершин параллелограмма по заданным условиям.
Итак, искомый параллелограмм построен с вершинами, полученными через систему геометрических построений, использующих свойства центра параллелограмма и медиан.
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
