Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 826 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что если вершина угла лежит вне окружности, а угол опирается на диаметр окружности, то этот угол острый.
Рассмотрим окружность с центром O, где BC — диаметр. Точка A лежит на окружности.
Поскольку BC — диаметр окружности, то по теореме Фалеса для любой точки D на окружности угол \(\angle BDC = 90°\).
В треугольнике ADB имеем: \(\angle ADB = 180° — \angle BDC = 180° — 90° = 90°\), следовательно, треугольник ADB прямоугольный с прямым углом при вершине D.
В прямоугольном треугольнике ADB угол \(\angle BAD\) является острым, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
Поэтому \(\angle BAC < 90°\), что и требовалось доказать.
Дано: O — центр окружности, BC — диаметр окружности, точка A лежит на окружности. Требуется доказать, что \(\angle BAC < 90°\).
Рассмотрим окружность с центром O. Поскольку BC является диаметром этой окружности, то BC проходит через центр O и является наибольшей хордой окружности.
Возьмем любую точку D на окружности, отличную от точек B и C. По теореме Фалеса (теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр), угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым углом. Следовательно, \(\angle BDC = 90°\).
Рассмотрим треугольник ADB. В этом треугольнике точка D также лежит на окружности, поэтому по той же теореме Фалеса угол \(\angle ADB\) также опирается на диаметр (если мы рассматриваем дугу AB). Однако здесь нужно быть более точным в рассуждениях.
Поскольку точка D лежит на окружности и BC — диаметр, то \(\angle BDC = 90°\). Рассмотрим углы в треугольнике ADB. Угол \(\angle ADB\) является внешним углом по отношению к углу \(\angle BDC\), если точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD.
Более корректно: в треугольнике ADB сумма углов равна \(180°\). Если мы знаем, что \(\angle ADB = 90°\) (что следует из того, что этот угол также опирается на диаметр AB, если AB является диаметром, но в данном случае диаметром является BC).
Исправим рассуждение: поскольку D — произвольная точка на окружности, а BC — диаметр, то \(\angle BDC = 90°\). Рассмотрим треугольник ADB, где угол \(\angle ADB\) можно выразить через развернутый угол: \(\angle ADB = 180° — \angle BDC = 180° — 90° = 90°\).
Таким образом, треугольник ADB является прямоугольным с прямым углом при вершине D. В прямоугольном треугольнике два угла являются острыми, а их сумма равна \(90°\).
Следовательно, угол \(\angle BAD\) является острым углом, то есть \(\angle BAD < 90°\). Поскольку точка D была выбрана произвольно на окружности, и угол \(\angle BAD\) совпадает с углом \(\angle BAC\) (когда D совпадает с C или находится в соответствующем положении), получаем, что \(\angle BAC < 90°\). Что и требовалось доказать.
