Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 828 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, перпендикулярны, \(\angle ACB = 10°\), \(\angle BDC = 70°\). Найдите углы данного четырехугольника.
Дано: O — центр окружности, \(\angle ACB = 10°\), \(\angle BDC = 70°\), \(AC \perp BD\).
Найти: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\) в четырехугольнике ABCD.
Поскольку \(AC \perp BD\), четырехугольник ABCD вписан в окружность и его диагонали перпендикулярны. В точке пересечения диагоналей E образуется прямоугольный треугольник CED.
В прямоугольном треугольнике CED: \(\angle DCE + \angle CDE = 90°\)
\(\angle DCE + 70° = 90°\)
\(\angle DCE = 20°\)
Для вписанного четырехугольника используем свойства вписанных углов:
\(\angle ADB = \angle ACB = 10°\) (углы, опирающиеся на одну дугу AB)
\(\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 10° + 70° = 80°\)
Противоположные углы вписанного четырехугольника дополняют друг друга до 180°:
\(\angle ABC = 180° — \angle ADC = 180° — 80° = 100°\)
\(\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 10° + 20° = 30°\)
\(\angle BAD = 180° — \angle BCD = 180° — 30° = 150°\)
Ответ: \(\angle BAD = 150°\), \(\angle ABC = 100°\), \(\angle BCD = 30°\), \(\angle CDA = 80°\).
Дано: O — центр окружности, \(\angle ACB = 10°\), \(\angle BDC = 70°\), \(AC \perp BD\).
Найти: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\) в четырехугольнике ABCD.
Поскольку четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O, и его диагонали AC и BD пересекаются в точке E под прямым углом, мы имеем дело с вписанным четырехугольником с перпендикулярными диагоналями.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CED, образованный в точке пересечения диагоналей. В этом треугольнике \(\angle CED = 90°\) по условию, так как \(AC \perp BD\).
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, поэтому:
\(\angle DCE + \angle CDE = 90°\)
Подставляем известное значение \(\angle CDE = \angle BDC = 70°\):
\(\angle DCE + 70° = 90°\)
\(\angle DCE = 90° — 70° = 20°\)
Теперь используем свойства вписанного четырехугольника. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Угол \(\angle ADB\) и угол \(\angle ACB\) опираются на дугу AB, поэтому:
\(\angle ADB = \angle ACB = 10°\)
Угол \(\angle ADC\) состоит из двух частей: \(\angle ADB\) и \(\angle BDC\):
\(\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 10° + 70° = 80°\)
В вписанном четырехугольнике противоположные углы дополняют друг друга до 180°. Углы A и C противоположные, углы B и D противоположные.
Найдем угол ABC, который противоположен углу ADC:
\(\angle ABC = 180° — \angle ADC = 180° — 80° = 100°\)
Угол BCD состоит из углов BCA и ACD. Мы знаем, что \(\angle BCA = \angle ACB = 10°\) и \(\angle ACD = \angle DCE = 20°\):
\(\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 10° + 20° = 30°\)
Найдем угол BAD, который противоположен углу BCD:
\(\angle BAD = 180° — \angle BCD = 180° — 30° = 150°\)
Проверим правильность решения: сумма углов четырехугольника должна равняться 360°:
\(\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 150° + 100° + 30° + 80° = 360°\)
Проверим свойство противоположных углов:
\(\angle BAD + \angle BCD = 150° + 30° = 180°\)
\(\angle ABC + \angle CDA = 100° + 80° = 180°\)
Ответ: \(\angle A = 150°\), \(\angle B = 100°\), \(\angle C = 30°\), \(\angle D = 80°\).
