ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 829 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две параллельные прямые пересекают одну из сторон угла с вершиной М в точках А и С, а другую — соответственно в точках В и D. Найдите отрезки МА и МС, если МВ : BD = 2 : 3 и МА + МС = 14 см.

По теореме Фалеса для параллельных прямых, пересекаемых двумя секущими, соответствующие отрезки пропорциональны.

Из условия \(MB : BD = 2 : 3\) находим отношение отрезков на секущей. Поскольку \(MD = MB + BD\), то \(MD = MB + \frac{3}{2}MB = \frac{5}{2}MB\).

По теореме Фалеса: \(\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD} = \frac{MB}{\frac{5}{2}MB} = \frac{2}{5}\)

Следовательно, \(MA = \frac{2}{5}MC\).

Подставляем в условие \(MA + MC = 14\):
\(\frac{2}{5}MC + MC = 14\)

\(\frac{2}{5}MC + \frac{5}{5}MC = 14\)

\(\frac{7}{5}MC = 14\)

\(MC = 14 \cdot \frac{5}{7} = 10\) см

\(MA = \frac{2}{5} \cdot 10 = 4\) см

Ответ: \(MA = 4\) см, \(MC = 10\) см.

Рассмотрим геометрическую конфигурацию, где через точки A, B, C, D, M проходят две секущие, пересекающие систему параллельных прямых.

Дано: \(MB : BD = 2 : 3\) и \(MA + MC = 14\) см. Необходимо найти длины отрезков \(MA\) и \(MC\).

Поскольку отношение \(MB : BD = 2 : 3\), это означает, что если \(MB = 2x\), то \(BD = 3x\) для некоторого положительного числа \(x\).

Найдем длину отрезка \(MD\). Поскольку точки M, B, D лежат на одной прямой и B находится между M и D, то \(MD = MB + BD\).

Подставляя выраженные через \(x\) значения: \(MD = 2x + 3x = 5x\).

Следовательно, \(MD = 5x\), а \(MB = 2x\), откуда получаем отношение: \(\frac{MB}{MD} = \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}\).

По теореме Фалеса, если две прямые пересекают систему параллельных прямых, то соответствующие отрезки на этих прямых пропорциональны. В нашем случае прямые, проходящие через точки A, C и через точки M, B, D, пересекают систему параллельных прямых.

Применяя теорему Фалеса, получаем пропорцию: \(\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{BD}\).

Но поскольку нам нужно соотношение между \(MA\) и \(MC\), и учитывая расположение точек, правильная пропорция будет: \(\frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD}\).

Подставляя найденное отношение: \(\frac{MA}{MC} = \frac{2}{5}\).

Из этого соотношения выражаем \(MA\) через \(MC\): \(MA = \frac{2}{5} \cdot MC\).

Теперь используем второе условие задачи: \(MA + MC = 14\).

Подставляем выражение для \(MA\): \(\frac{2}{5} \cdot MC + MC = 14\).

Приводим к общему знаменателю: \(\frac{2}{5}MC + \frac{5}{5}MC = 14\).

Складываем дроби: \(\frac{2 + 5}{5}MC = 14\), то есть \(\frac{7}{5}MC = 14\).

Находим \(MC\): \(MC = 14 \cdot \frac{5}{7} = \frac{14 \cdot 5}{7} = \frac{70}{7} = 10\) см.

Теперь находим \(MA\): \(MA = \frac{2}{5} \cdot 10 = \frac{20}{5} = 4\) см.

Проверяем результат: \(MA + MC = 4 + 10 = 14\) см, что соответствует условию задачи.

Также проверяем пропорцию: \(\frac{MA}{MC} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\), что соответствует найденному отношению \(\frac{MB}{MD} = \frac{2}{5}\).

Ответ: \(MA = 4\) см, \(MC = 10\) см.