Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 830 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите отношение оснований трапеции, если ее диагонали делят среднюю линию трапеции на три равные части.
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(EF\) — средняя линия, \(EM = MN = NF\).
Найти: \(BC : AD\).
Поскольку \(EF\) — средняя линия трапеции \(ABCD\), то \(AE = BE\) и \(CF = DF\), а также \(EF \parallel AD \parallel BC\).
В треугольнике \(ABC\): поскольку \(AE = BE\) и \(EM \parallel BC\), то \(M\) — середина \(AC\), следовательно \(EM\) — средняя линия треугольника \(ABC\). По свойству средней линии: \(BC = 2EM\).
В треугольнике \(ACD\): поскольку \(AM = CM\) (так как \(M\) — середина \(AC\)) и \(CF = DF\), то \(MF\) — средняя линия треугольника \(ACD\). По свойству средней линии: \(AD = 2MF\).
По условию \(EM = MN = NF\), значит \(EF = EM + MN + NF = 3EM\).
Также \(EF = EN + NF = 2EM + EM = 3EM\) и \(EF = EM + MF = EM + MF\).
Поскольку \(EF = 3EM\) и \(EF = EM + MF\), получаем \(3EM = EM + MF\), откуда \(MF = 2EM\).
Следовательно: \(AD = 2MF = 2 \cdot 2EM = 4EM\).
Находим отношение: \(\frac{BC}{AD} = \frac{2EM}{4EM} = \frac{1}{2}\).
Ответ: \(1 : 2\).
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(EF\) — средняя линия, \(EM = MN = NF\).
Найти: \(BC : AD\).
Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\), где \(BC \parallel AD\). По определению средней линии трапеции, отрезок \(EF\) соединяет середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\). Это означает, что точка \(E\) является серединой стороны \(AB\), то есть \(AE = BE\), а точка \(F\) является серединой стороны \(CD\), то есть \(CF = DF\).
Средняя линия трапеции параллельна основаниям, поэтому \(EF \parallel AD \parallel BC\).
Поскольку \(EM = MN = NF\) и эти три отрезка составляют всю среднюю линию \(EF\), то точки \(M\) и \(N\) делят отрезок \(EF\) на три равные части.
Рассмотрим треугольник \(ABC\). В этом треугольнике точка \(E\) является серединой стороны \(AB\), так как \(AE = BE\). Отрезок \(EM\) проходит от середины стороны \(AB\) и параллелен основанию \(BC\) трапеции. Поскольку \(EF \parallel BC\) и \(M\) лежит на \(EF\), то \(EM \parallel BC\).
Чтобы определить положение точки \(M\), проведем прямую через точку \(M\) параллельно сторонам \(AB\) и \(CD\). Эта прямая пересечет стороны \(AC\) и \(BD\) трапеции. Поскольку отрезок \(EM\) параллелен \(BC\) и \(E\) — середина \(AB\), по теореме о средней линии треугольника точка пересечения с \(AC\) будет серединой \(AC\). Обозначим эту точку как точку пересечения прямой через \(M\) со стороной \(AC\). Получается, что \(M\) проектируется на середину \(AC\).
В треугольнике \(ABC\) отрезок \(EM\) является средней линией, поскольку \(E\) — середина \(AB\), а проекция \(M\) на \(AC\) является серединой \(AC\). По свойству средней линии треугольника: \(EM = \frac{1}{2}BC\), откуда \(BC = 2EM\).
Аналогично рассмотрим треугольник \(ACD\). Точка \(F\) является серединой стороны \(CD\), так как \(CF = DF\). Отрезок \(MF\) параллелен основанию \(AD\) трапеции, поскольку \(EF \parallel AD\) и \(M\), \(F\) лежат на \(EF\).
Проведем анализ положения точки \(M\) относительно треугольника \(ACD\). Поскольку \(M\) находится на средней линии трапеции и делит ее в определенном отношении, а также учитывая, что средняя линия проходит через середины боковых сторон, точка \(M\) проектируется на середину диагонали \(AC\).
В треугольнике \(ACD\) отрезок \(MF\) является средней линией, поскольку проекция \(M\) является серединой \(AC\), а \(F\) — середина \(CD\). По свойству средней линии треугольника: \(MF = \frac{1}{2}AD\), откуда \(AD = 2MF\).
По условию задачи \(EM = MN = NF\). Поскольку \(EF = EM + MN + NF\), получаем \(EF = 3EM\).
Также средняя линия \(EF\) может быть представлена как \(EF = EM + MF\). Подставляя известные соотношения: \(3EM = EM + MF\), откуда \(MF = 2EM\).
Теперь найдем длины оснований трапеции:
— \(BC = 2EM\)
— \(AD = 2MF = 2 \cdot 2EM = 4EM\)
Вычислим искомое отношение: \(\frac{BC}{AD} = \frac{2EM}{4EM} = \frac{1}{2}\).
Следовательно, \(BC : AD = 1 : 2\).
