Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 832 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает диагональ BD и сторону ВС в точках Е и F соответственно, ВЕ : ED = 2 : 7. Найдите отношение BF : FC.
Дано: ABCD — параллелограмм, AF — биссектриса угла A, BE : ED = 2 : 7.
В параллелограмме ABCD имеем BC = AD и BC || AD.
Поскольку AF — биссектриса угла A и BC || AD, то \(\angle BFA = \angle DAF\) (накрест лежащие углы).
Рассмотрим треугольники BEF и AED. У них \(\angle BFE = \angle DAE\) (доказано выше), \(\angle BEF = \angle AED\) (вертикальные углы). Следовательно, треугольники BEF и AED подобны по первому признаку подобия.
Из подобия треугольников получаем: \(\frac{BF}{AD} = \frac{BE}{DE} = \frac{2}{7}\).
Значит, \(BF = \frac{2}{7}AD\).
Поскольку BC = AD в параллелограмме, то \(BC = BF + CF\), откуда \(AD = BF + CF\).
Подставляя \(BF = \frac{2}{7}AD\), получаем: \(AD = \frac{2}{7}AD + CF\).
Отсюда \(CF = AD — \frac{2}{7}AD = \frac{5}{7}AD\).
Следовательно, \(\frac{BF}{CF} = \frac{\frac{2}{7}AD}{\frac{5}{7}AD} = \frac{2}{5}\).
Ответ: 2 : 5.
Дано: ABCD — параллелограмм, AF — биссектриса угла A, BE : ED = 2 : 7. Найти: BF : FC.
Поскольку ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны и параллельны: BC = AD и BC || AD.
AF является биссектрисой угла A, поэтому \(\angle BAF = \angle DAF\).
Рассмотрим прямые BC и AD с секущей AF. Поскольку BC || AD, то \(\angle BFA = \angle DAF\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AF.
Из того, что AF — биссектриса угла A, имеем \(\angle BAF = \angle DAF\). Следовательно, \(\angle BFA = \angle BAF\).
Рассмотрим треугольники BEF и AED. В этих треугольниках:
— \(\angle BFE = \angle DAE\) (это следует из того, что \(\angle BFA = \angle DAF\), а \(\angle BFE\) и \(\angle BFA\) — один и тот же угол, так же как \(\angle DAE\) и \(\angle DAF\))
— \(\angle BEF = \angle AED\) как вертикальные углы
По первому признаку подобия треугольников (два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника) треугольники BEF и AED подобны: \(\triangle BEF \sim \triangle AED\).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \(\frac{BF}{AD} = \frac{BE}{DE} = \frac{EF}{AE}\).
По условию BE : ED = 2 : 7, значит \(\frac{BE}{DE} = \frac{2}{7}\).
Следовательно, \(\frac{BF}{AD} = \frac{2}{7}\), откуда \(BF = \frac{2}{7}AD\).
Рассмотрим отрезок BC. Поскольку точка F лежит на стороне BC, то BC = BF + CF.
В параллелограмме BC = AD, поэтому AD = BF + CF.
Подставляем найденное выражение для BF: \(AD = \frac{2}{7}AD + CF\).
Выражаем CF: \(CF = AD — \frac{2}{7}AD = \frac{7}{7}AD — \frac{2}{7}AD = \frac{5}{7}AD\).
Находим отношение BF к CF: \(\frac{BF}{CF} = \frac{\frac{2}{7}AD}{\frac{5}{7}AD} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2}{5}\).
Следовательно, BF : FC = 2 : 5.
