Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 835 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, составляет 2 высоты, проведенной к основанию треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.
Дано: треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(O\) — центр вписанной окружности, \(BD\) — биссектриса угла \(B\), \(AE\) — биссектриса угла \(A\), \(R = \frac{2}{9}h\), \(P_{ABC} = 72\) см.
Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный с \(AB = BC\), биссектриса \(BD\) является также высотой и медианой, поэтому \(OD \perp AC\) и \(OD = \frac{2}{9}BD\).
Из свойств вписанной окружности \(BO = BD — OD = BD — \frac{2}{9}BD = \frac{7}{9}BD\).
В треугольнике \(ABD\) биссектриса \(AE\) пересекает \(BD\) в точке, где выполняется \(\frac{AB}{AD} = \frac{BO}{DO} = \frac{7}{2}\), откуда \(AB = \frac{7}{2}AD\).
Поскольку треугольник равнобедренный, \(AB = BC\) и \(AC = 2AD\) (так как \(D\) — середина \(AC\)).
Периметр треугольника: \(P_{ABC} = AB + BC + AC = AB + AB + 2AD = 2AB + 2AD = 72\).
Подставляя \(AB = \frac{7}{2}AD\): \(2 \cdot \frac{7}{2}AD + 2AD = 7AD + 2AD = 9AD = 72\).
Отсюда \(AD = 8\) см.
Тогда \(AB = \frac{7}{2} \cdot 8 = 28\) см, \(BC = AB = 28\) см, \(AC = 2 \cdot 8 = 16\) см.
Ответ: \(AB = 28\) см, \(BC = 28\) см, \(AC = 16\) см.
Дано: треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(O\) — центр вписанной окружности, \(BD\) — биссектриса угла \(B\), \(AE\) — биссектриса угла \(A\), \(R = \frac{2}{9}h\), \(P_{ABC} = 72\) см.
Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник \(ABC\). Центр вписанной окружности \(O\) находится в точке пересечения биссектрис треугольника, поэтому \(O \in AE \cap BD\).
Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(AB = BC\). В равнобедренном треугольнике биссектриса \(BD\), проведенная из вершины к основанию, является одновременно высотой и медианой. Следовательно, \(BD \perp AC\) и \(AD = DC\).
Центр вписанной окружности \(O\) лежит на биссектрисе \(BD\), поэтому \(OD \perp AC\). Расстояние от центра вписанной окружности до стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности, то есть \(OD = r\).
По условию \(R = \frac{2}{9}h\), где \(h\) — высота треугольника. В нашем случае высота треугольника равна \(BD\), поэтому \(r = \frac{2}{9}BD\), откуда \(OD = \frac{2}{9}BD\).
Поскольку точка \(O\) лежит на отрезке \(BD\), то \(BO = BD — OD = BD — \frac{2}{9}BD = \frac{9BD — 2BD}{9} = \frac{7BD}{9} = \frac{7}{9}BD\).
Рассмотрим треугольник \(ABD\). В этом треугольнике \(AE\) является биссектрисой угла \(A\). По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон.
В треугольнике \(ABD\) биссектриса \(AE\) пересекает сторону \(BD\) в некоторой точке. Однако нам известно, что центр вписанной окружности \(O\) лежит на пересечении биссектрис, поэтому \(AE\) проходит через точку \(O\).
Применим теорему о биссектрисе в треугольнике \(ABD\): отношение отрезков \(BO\) и \(OD\) равно отношению сторон \(AB\) и \(AD\). То есть \(\frac{AB}{AD} = \frac{BO}{OD}\).
Подставим известные значения: \(\frac{AB}{AD} = \frac{\frac{7}{9}BD}{\frac{2}{9}BD} = \frac{7BD}{9} \cdot \frac{9}{2BD} = \frac{7}{2}\).
Следовательно, \(AB = \frac{7}{2}AD\).
Поскольку треугольник \(ABC\) равнобедренный с \(AB = BC\), и \(BD\) является медианой к основанию \(AC\), то \(AD = DC\). Следовательно, \(AC = AD + DC = 2AD\).
Периметр треугольника \(ABC\) равен сумме всех его сторон: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\).
Поскольку \(AB = BC\), получаем: \(P_{ABC} = AB + AB + AC = 2AB + AC\).
Подставим \(AC = 2AD\): \(P_{ABC} = 2AB + 2AD\).
Подставим \(AB = \frac{7}{2}AD\): \(P_{ABC} = 2 \cdot \frac{7}{2}AD + 2AD = 7AD + 2AD = 9AD\).
По условию \(P_{ABC} = 72\) см, поэтому: \(9AD = 72\), откуда \(AD = 8\) см.
Найдем остальные стороны: \(AB = \frac{7}{2} \cdot 8 = \frac{56}{2} = 28\) см.
Поскольку \(BC = AB\), то \(BC = 28\) см.
\(AC = 2AD = 2 \cdot 8 = 16\) см.
Проверим: \(P_{ABC} = 28 + 28 + 16 = 72\) см, что соответствует условию.
Ответ: \(AB = 28\) см, \(BC = 28\) см, \(AC = 16\) см.
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
