Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 840 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямая МВ пересекает окружность в точках А и В (точка А лежит между точками М и В), а прямая MD — в точках С и D (точка С лежит между точками М и D). Известно, что АВ = МС, МА = 20 см, CD = 11 см. Найдите отрезок АВ.
Дано: O — центр окружности, \(AB = MC\), \(MA = 20\) см, \(CD = 11\) см.
Найти: \(AB\).
Рассмотрим окружность. Поскольку \(AB = MC\), то равные хорды равноудалены от центра.
Из рисунка видно, что точки M, A, B лежат на одной прямой (секущая), а точки M, C, D также лежат на одной прямой (секущая).
Применим теорему о произведении отрезков секущих: если из внешней точки проведены две секущие к окружности, то произведения отрезков секущих равны.
Для секущей MAB: \(MA \cdot MB = MA \cdot (MA + AB) = 20 \cdot (20 + AB)\)
Для секущей MCD: \(MC \cdot MD = MC \cdot (MC + CD) = AB \cdot (AB + 11)\)
Поскольку \(AB = MC\), получаем:
\(20(20 + AB) = AB(AB + 11)\)
Раскрываем скобки:
\(400 + 20AB = AB^2 + 11AB\)
Переносим все в левую часть:
\(AB^2 + 11AB — 20AB — 400 = 0\)
\(AB^2 — 9AB — 400 = 0\)
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
\(D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 81 + 1600 = 1681\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41\)
\(AB = \frac{9 \pm 41}{2}\)
Получаем два корня: \(AB_1 = \frac{9 + 41}{2} = \frac{50}{2} = 25\) и \(AB_2 = \frac{9 — 41}{2} = \frac{-32}{2} = -16\)
Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, \(AB = 25\) см.
Ответ: 25 см.
Дано: O — центр окружности, \(AB = MC\), \(MA = 20\) см, \(CD = 11\) см.
Найти: \(AB\).
Из рисунка видно, что точка M находится вне окружности, и из этой точки проведены две секущие: одна проходит через точки A и B, другая — через точки C и D.
Применяем теорему о произведении отрезков секущих: если из внешней точки проведены две секущие к окружности, то произведение расстояний от этой точки до точек пересечения с окружностью для одной секущей равно произведению аналогичных расстояний для другой секущей.
Для первой секущей MAB: расстояние от M до ближайшей точки пересечения равно \(MA = 20\) см, расстояние от M до дальней точки пересечения равно \(MB\).
Поскольку точки M, A, B лежат на одной прямой и A находится между M и B, то \(MB = MA + AB = 20 + AB\).
Для второй секущей MCD: расстояние от M до ближайшей точки пересечения равно \(MC\), расстояние от M до дальней точки пересечения равно \(MD\).
Поскольку точки M, C, D лежат на одной прямой и C находится между M и D, то \(MD = MC + CD\).
По условию \(AB = MC\), поэтому \(MC = AB\).
Также по условию \(CD = 11\) см, следовательно \(MD = MC + CD = AB + 11\).
Применяем теорему о произведении отрезков секущих:
\(MA \cdot MB = MC \cdot MD\)
Подставляем известные значения:
\(20 \cdot (20 + AB) = AB \cdot (AB + 11)\)
Раскрываем скобки в левой части:
\(20 \cdot 20 + 20 \cdot AB = 400 + 20AB\)
Раскрываем скобки в правой части:
\(AB \cdot AB + AB \cdot 11 = AB^2 + 11AB\)
Получаем уравнение:
\(400 + 20AB = AB^2 + 11AB\)
Переносим все слагаемые в левую часть:
\(400 + 20AB — AB^2 — 11AB = 0\)
Приводим подобные:
\(400 + 20AB — 11AB — AB^2 = 0\)
\(400 + 9AB — AB^2 = 0\)
Переставляем слагаемые в стандартном порядке:
\(-AB^2 + 9AB + 400 = 0\)
Умножаем на -1:
\(AB^2 — 9AB — 400 = 0\)
Решаем квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -9\), \(c = -400\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-400) = 81 — 4 \cdot (-400) = 81 + 1600 = 1681\)
Находим корень из дискриминанта:
\(\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41\)
Применяем формулу корней квадратного уравнения:
\(AB = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-9) \pm 41}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 41}{2}\)
Находим первый корень:
\(AB_1 = \frac{9 + 41}{2} = \frac{50}{2} = 25\)
Находим второй корень:
\(AB_2 = \frac{9 — 41}{2} = \frac{-32}{2} = -16\)
Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем отрицательный корень.
Следовательно, \(AB = 25\) см.
Проверим решение: если \(AB = 25\), то \(MC = 25\), \(MB = 20 + 25 = 45\), \(MD = 25 + 11 = 36\).
\(MA \cdot MB = 20 \cdot 45 = 900\)
\(MC \cdot MD = 25 \cdot 36 = 900\)
Равенство выполняется, решение верно.
Ответ: 25 см.
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
