ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 845 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведенная к основанию, на 6 см меньше основания. Найдите основание треугольника.

Дано: треугольник ABC равнобедренный, BH — высота, AB = 15 см, BH = AC — 6 см.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, высота BH является также медианой, поэтому AH = \(\frac{1}{2}AC\).

В прямоугольном треугольнике ABH применим теорему Пифагора:
\(AB^2 = AH^2 + BH^2\)

Подставляем известные значения:
\(15^2 = \left(\frac{1}{2}AC\right)^2 + (AC — 6)^2\)

\(225 = \frac{1}{4}AC^2 + AC^2 — 12AC + 36\)

\(225 = \frac{1}{4}AC^2 + AC^2 — 12AC + 36\)

\(225 — 36 = \frac{1}{4}AC^2 + AC^2 — 12AC\)

\(189 = \frac{5}{4}AC^2 — 12AC\)

Умножаем на 4:
\(756 = 5AC^2 — 48AC\)

\(5AC^2 — 48AC — 756 = 0\)

Используем квадратную формулу:
\(D = 48^2 + 4 \cdot 5 \cdot 756 = 2304 + 15120 = 17424\)

\(\sqrt{D} = 132\)

\(AC = \frac{48 + 132}{2 \cdot 5} = \frac{180}{10} = 18\)

Ответ: 18 см.

Дано: треугольник ABC равнобедренный, BH — высота, AB = 15 см, BH = AC — 6 см. Найти AC.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC = 15 см, а основание AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой и биссектрисой. Это означает, что высота BH делит основание AC пополам, то есть AH = HC = \(\frac{AC}{2}\).

Высота BH перпендикулярна основанию AC, поэтому треугольник ABH является прямоугольным с прямым углом при точке H. В этом треугольнике AB — гипотенуза, а AH и BH — катеты.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABH:
\(AB^2 = AH^2 + BH^2\)

Подставляем известные значения. AB = 15 см, AH = \(\frac{AC}{2}\), BH = AC — 6:
\(15^2 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + (AC — 6)^2\)

Вычисляем левую часть:
\(225 = \left(\frac{AC}{2}\right)^2 + (AC — 6)^2\)

Раскрываем квадраты в правой части. Для первого слагаемого:
\(\left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \frac{AC^2}{4}\)

Для второго слагаемого используем формулу квадрата разности \((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\):
\((AC — 6)^2 = AC^2 — 2 \cdot AC \cdot 6 + 6^2 = AC^2 — 12AC + 36\)

Подставляем в уравнение:
\(225 = \frac{AC^2}{4} + AC^2 — 12AC + 36\)

Приводим подобные слагаемые с \(AC^2\):
\(\frac{AC^2}{4} + AC^2 = \frac{AC^2}{4} + \frac{4AC^2}{4} = \frac{5AC^2}{4}\)

Получаем:
\(225 = \frac{5AC^2}{4} — 12AC + 36\)

Переносим 36 в левую часть:
\(225 — 36 = \frac{5AC^2}{4} — 12AC\)
\(189 = \frac{5AC^2}{4} — 12AC\)

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
\(189 \cdot 4 = 5AC^2 — 12AC \cdot 4\)
\(756 = 5AC^2 — 48AC\)

Переносим все слагаемые в левую часть:
\(5AC^2 — 48AC — 756 = 0\)

Получили квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где a = 5, b = -48, c = -756.

Используем формулу для решения квадратного уравнения:
\(AC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}\)

Вычисляем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-48)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-756)\)
\(D = 2304 — 4 \cdot 5 \cdot (-756)\)
\(D = 2304 + 20 \cdot 756\)
\(D = 2304 + 15120\)
\(D = 17424\)

Находим корень из дискриминанта:
\(\sqrt{17424} = 132\)

Подставляем в формулу:
\(AC = \frac{-(-48) \pm 132}{2 \cdot 5} = \frac{48 \pm 132}{10}\)

Получаем два корня:
\(AC_1 = \frac{48 + 132}{10} = \frac{180}{10} = 18\)
\(AC_2 = \frac{48 — 132}{10} = \frac{-84}{10} = -8.4\)

Поскольку AC представляет длину стороны треугольника, она должна быть положительной, поэтому AC = 18 см.

Проверим решение. При AC = 18 см:
BH = AC — 6 = 18 — 6 = 12 см
AH = \(\frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9\) см

По теореме Пифагора:
\(AB^2 = AH^2 + BH^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\)
\(AB = \sqrt{225} = 15\) см

Это совпадает с данным значением AB = 15 см, что подтверждает правильность решения.

Ответ: 18 см.