ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 847 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит ее на отрезки длиной 4 см и 25 см. Найдите диагонали ромба.

Дано: ABCD — ромб, OH ⊥ AB, AH = 25 см, BH = 4 см.

Найти: AC, BD.

Рассмотрим ромб ABCD. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам в точке пересечения O. Значит, AC = 2AO, BD = 2BO, AC ⊥ BD.

Найдем сторону ромба: AB = AH + BH = 25 + 4 = 29 см.

В прямоугольном треугольнике AOB применим свойство высоты, проведенной к гипотенузе. Высота OH делит гипотенузу AB на отрезки AH и BH.

Для прямоугольного треугольника справедливо: \(OB^2 = BH \cdot AB = 4 \cdot 29 = 116\)

Отсюда \(OB = \sqrt{116} = \sqrt{4 \cdot 29} = 2\sqrt{29}\)

Значит, \(BD = 2 \cdot OB = 2 \cdot 2\sqrt{29} = 4\sqrt{29}\) см.

Аналогично: \(AO^2 = AH \cdot AB = 25 \cdot 29 = 725\)

Отсюда \(AO = \sqrt{725} = \sqrt{25 \cdot 29} = 5\sqrt{29}\)

Значит, \(AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 5\sqrt{29} = 10\sqrt{29}\) см.

Ответ: \(BD = 4\sqrt{29}\) см, \(AC = 10\sqrt{29}\) см.

Дано: ABCD — ромб, OH ⊥ AB, AH = 25 см, BH = 4 см.

Найти: AC, BD.

Рассмотрим ромб ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O. По свойствам ромба диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам в точке пересечения. Это означает, что AC ⊥ BD, AO = OC и BO = OD.

Из условия задачи OH — высота, опущенная из центра ромба O на сторону AB. Поскольку O — центр ромба, то OH является перпендикуляром к стороне AB.

Найдем длину стороны ромба AB. Поскольку H лежит на стороне AB, и даны отрезки AH = 25 см и BH = 4 см, то:
AB = AH + BH = 25 + 4 = 29 см

В ромбе все стороны равны, поэтому AB = BC = CD = DA = 29 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. В этом треугольнике AO и BO — половины диагоналей ромба, а AB — сторона ромба. Угол AOB = 90° по свойству диагоналей ромба.

OH является высотой прямоугольного треугольника AOB, опущенной на гипотенузу AB. По свойству высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, справедливы следующие соотношения:

Для катета BO: \(BO^2 = BH \cdot AB\)
Подставляем известные значения: \(BO^2 = 4 \cdot 29 = 116\)
Извлекаем квадратный корень: \(BO = \sqrt{116}\)
Упростим: \(BO = \sqrt{4 \cdot 29} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{29} = 2\sqrt{29}\)

Поскольку BO — половина диагонали BD, то:
\(BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 2\sqrt{29} = 4\sqrt{29}\) см

Аналогично для катета AO: \(AO^2 = AH \cdot AB\)
Подставляем известные значения: \(AO^2 = 25 \cdot 29 = 725\)
Извлекаем квадратный корень: \(AO = \sqrt{725}\)
Упростим: \(AO = \sqrt{25 \cdot 29} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{29} = 5\sqrt{29}\)

Поскольку AO — половина диагонали AC, то:
\(AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 5\sqrt{29} = 10\sqrt{29}\) см

Проверим правильность решения, используя теорему Пифагора для треугольника AOB:
\(AO^2 + BO^2 = AB^2\)
\((5\sqrt{29})^2 + (2\sqrt{29})^2 = 29^2\)
\(25 \cdot 29 + 4 \cdot 29 = 841\)
\(725 + 116 = 841\)
\(841 = 841\) ✓

Также проверим через высоту OH. По формуле для высоты прямоугольного треугольника:
\(OH^2 = AH \cdot BH = 25 \cdot 4 = 100\)
\(OH = 10\) см

И через площадь треугольника AOB:
Площадь = \(\frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{29} \cdot 2\sqrt{29} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 29 = 145\)
Площадь = \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot 29 \cdot 10 = 145\) ✓

Ответ: \(AC = 10\sqrt{29}\) см, \(BD = 4\sqrt{29}\) см.