ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 848 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Окружность, центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника, касается большего катета и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если катеты равны 5 см и 12 см

Дано: \(\angle ACB = 90°\), BC — касательная к окружности, AC = 5 см, BC = 12 см. Найти радиус R описанной окружности.

Рассмотрим окружность с центром O. Поскольку BC — касательная, то \(OH \perp BC\), где H — точка касания. Радиус к точке касания перпендикулярен касательной, поэтому \(OA = OH = R\).

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)

Следовательно, \(AB = 13\) см.

Поскольку \(OH \perp BC\) и \(AC \perp BC\), то \(OH \parallel AC\). Треугольники ACB и OHB подобны по двум углам.

Из подобия треугольников:
\(\frac{OB}{AB} = \frac{OH}{AC}\)

Поскольку \(OB = AB — AO = 13 — R\) и \(OH = R\), получаем:
\(\frac{13 — R}{13} = \frac{R}{5}\)

Решаем пропорцию:
\(5(13 — R) = 13R\)
\(65 — 5R = 13R\)
\(65 = 18R\)
\(R = \frac{65}{18}\) см

Ответ: \(\frac{65}{18}\) см.

Дано: \(\angle ACB = 90°\), BC — касательная к окружности, AC = 5 см, BC = 12 см. Найти радиус R описанной окружности.

Рассматриваем окружность с центром O и радиусом R. Поскольку BC является касательной к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Обозначим точку касания как H. Тогда \(OH \perp BC\) и \(OH = R\).

Поскольку треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C, точка A лежит на окружности, и \(OA = R\) как радиус окружности.

Применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC:
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

Подставляем известные значения:
\(AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)

Извлекаем квадратный корень:
\(AB = \sqrt{169} = 13\) см

Анализируем геометрическую конфигурацию. Поскольку \(OH \perp BC\) (радиус перпендикулярен касательной) и \(AC \perp BC\) (дано, что \(\angle ACB = 90°\)), то прямые OH и AC параллельны: \(OH \parallel AC\).

Рассматриваем треугольники ACB и OHB. У них есть общий угол B, а углы ACB и OHB равны 90°. Следовательно, треугольники подобны по двум углам: \(\triangle ACB \sim \triangle OHB\).

Из подобия треугольников составляем пропорцию соответствующих сторон:
\(\frac{OB}{AB} = \frac{OH}{AC}\)

Выражаем OB через известные величины. Поскольку точки O, A, B не лежат на одной прямой, но OA = R и AB = 13, то:
\(OB = AB — AO = 13 — R\)

Подставляем в пропорцию известные значения:
\(\frac{13 — R}{13} = \frac{R}{5}\)

Решаем пропорцию методом перекрестного умножения:
\(5(13 — R) = 13R\)

Раскрываем скобки:
\(65 — 5R = 13R\)

Переносим все слагаемые с R в одну сторону:
\(65 = 13R + 5R\)
\(65 = 18R\)

Находим R:
\(R = \frac{65}{18}\) см

Проверяем правильность решения. При \(R = \frac{65}{18}\):
\(OB = 13 — \frac{65}{18} = \frac{234 — 65}{18} = \frac{169}{18}\)

Проверяем пропорцию:
\(\frac{OB}{AB} = \frac{169/18}{13} = \frac{169}{18 \cdot 13} = \frac{169}{234} = \frac{13}{18}\)

\(\frac{OH}{AC} = \frac{65/18}{5} = \frac{65}{18 \cdot 5} = \frac{65}{90} = \frac{13}{18}\)

Пропорция выполняется, решение верно.

Ответ: \(\frac{65}{18}\) см.