Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 854 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите площадь равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен R.
Дано: треугольник \(ABC\) равносторонний, \(O\) — центр описанной окружности, \(AO = BO = R\).
Поскольку треугольник равносторонний, все углы равны \(60°\). В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести.
Из центра \(O\) проводим перпендикуляры к сторонам: \(OE \perp BC\), \(OF \perp AC\). Поскольку треугольник равносторонний, эти перпендикуляры являются медианами и биссектрисами.
В треугольнике \(AOF\): угол \(\angle OAF = 30°\) (половина угла \(60°\)), \(OF\) — перпендикуляр к \(AC\).
Из прямоугольного треугольника \(AOF\): \(OF = \frac{1}{2}AO = \frac{R}{2}\).
Используя тангенс: \(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\), откуда \(\frac{OF}{AF} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Следовательно: \(AF = \frac{OF}{\tan 30°} = \frac{R/2}{\sqrt{3}/3} = \frac{3R}{2\sqrt{3}} = \frac{3R\sqrt{3}}{6} = \frac{R\sqrt{3}}{2}\).
Поскольку \(F\) — середина \(AC\), то \(AC = 2AF = R\sqrt{3}\).
Высота треугольника: \(BF = BO + OF = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}\).
Площадь треугольника: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot \frac{3R}{2} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).
Дано: треугольник \(ABC\) равносторонний, \(O\) — центр описанной окружности, \(AO = BO = R\). Найти площадь треугольника \(S_{ABC}\).
Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, все его углы равны \(60°\): \(\angle A = \angle B = \angle C = 60°\).
В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести и лежит на пересечении медиан, высот и биссектрис.
Из центра описанной окружности \(O\) проводим перпендикуляры к сторонам треугольника: \(OE \perp BC\) и \(OF \perp AC\). Поскольку треугольник равносторонний, точки \(E\) и \(F\) являются серединами соответствующих сторон: \(BE = CE\) и \(AF = CF\).
Отрезки \(AE\) и \(BF\) являются одновременно высотами, медианами и биссектрисами равностороннего треугольника.
Поскольку \(AE\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle OAF = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOF\). В этом треугольнике: \(\angle OAF = 30°\), \(\angle AFO = 90°\), \(AO = R\).
Из свойств прямоугольного треугольника с углом \(30°\): катет, лежащий против угла \(30°\), равен половине гипотенузы. Следовательно: \(OF = \frac{1}{2}AO = \frac{R}{2}\).
Для нахождения \(AF\) используем тангенс угла \(30°\): \(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
В прямоугольном треугольнике \(AOF\): \(\tan 30° = \frac{OF}{AF}\).
Подставляя известные значения: \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{R/2}{AF}\).
Отсюда: \(AF = \frac{R/2}{\sqrt{3}/3} = \frac{R}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3R}{2\sqrt{3}}\).
Рационализируем знаменатель: \(AF = \frac{3R}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3R\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{R\sqrt{3}}{2}\).
Поскольку \(F\) — середина стороны \(AC\), то: \(AC = 2AF = 2 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}\).
Для нахождения высоты треугольника рассмотрим отрезок \(BF\). Поскольку \(O\) лежит на высоте \(BF\), то: \(BF = BO + OF\).
Так как \(BO = R\) (радиус описанной окружности) и \(OF = \frac{R}{2}\), получаем: \(BF = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}\).
Площадь треугольника вычисляется по формуле: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).
Используя сторону \(AC\) как основание и \(BF\) как высоту: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot \frac{3R}{2}\).
Выполняя вычисления: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot \frac{3R}{2} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).
Ответ: \(\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
