ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 854 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен R.

Дано: треугольник \(ABC\) равносторонний, \(O\) — центр описанной окружности, \(AO = BO = R\).

Поскольку треугольник равносторонний, все углы равны \(60°\). В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести.

Из центра \(O\) проводим перпендикуляры к сторонам: \(OE \perp BC\), \(OF \perp AC\). Поскольку треугольник равносторонний, эти перпендикуляры являются медианами и биссектрисами.

В треугольнике \(AOF\): угол \(\angle OAF = 30°\) (половина угла \(60°\)), \(OF\) — перпендикуляр к \(AC\).

Из прямоугольного треугольника \(AOF\): \(OF = \frac{1}{2}AO = \frac{R}{2}\).

Используя тангенс: \(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\), откуда \(\frac{OF}{AF} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Следовательно: \(AF = \frac{OF}{\tan 30°} = \frac{R/2}{\sqrt{3}/3} = \frac{3R}{2\sqrt{3}} = \frac{3R\sqrt{3}}{6} = \frac{R\sqrt{3}}{2}\).

Поскольку \(F\) — середина \(AC\), то \(AC = 2AF = R\sqrt{3}\).

Высота треугольника: \(BF = BO + OF = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}\).

Площадь треугольника: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot \frac{3R}{2} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).

Дано: треугольник \(ABC\) равносторонний, \(O\) — центр описанной окружности, \(AO = BO = R\). Найти площадь треугольника \(S_{ABC}\).

Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, все его углы равны \(60°\): \(\angle A = \angle B = \angle C = 60°\).

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести и лежит на пересечении медиан, высот и биссектрис.

Из центра описанной окружности \(O\) проводим перпендикуляры к сторонам треугольника: \(OE \perp BC\) и \(OF \perp AC\). Поскольку треугольник равносторонний, точки \(E\) и \(F\) являются серединами соответствующих сторон: \(BE = CE\) и \(AF = CF\).

Отрезки \(AE\) и \(BF\) являются одновременно высотами, медианами и биссектрисами равностороннего треугольника.

Поскольку \(AE\) — биссектриса угла \(A\), то \(\angle OAF = \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOF\). В этом треугольнике: \(\angle OAF = 30°\), \(\angle AFO = 90°\), \(AO = R\).

Из свойств прямоугольного треугольника с углом \(30°\): катет, лежащий против угла \(30°\), равен половине гипотенузы. Следовательно: \(OF = \frac{1}{2}AO = \frac{R}{2}\).

Для нахождения \(AF\) используем тангенс угла \(30°\): \(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

В прямоугольном треугольнике \(AOF\): \(\tan 30° = \frac{OF}{AF}\).

Подставляя известные значения: \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{R/2}{AF}\).

Отсюда: \(AF = \frac{R/2}{\sqrt{3}/3} = \frac{R}{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3R}{2\sqrt{3}}\).

Рационализируем знаменатель: \(AF = \frac{3R}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3R\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{R\sqrt{3}}{2}\).

Поскольку \(F\) — середина стороны \(AC\), то: \(AC = 2AF = 2 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}\).

Для нахождения высоты треугольника рассмотрим отрезок \(BF\). Поскольку \(O\) лежит на высоте \(BF\), то: \(BF = BO + OF\).

Так как \(BO = R\) (радиус описанной окружности) и \(OF = \frac{R}{2}\), получаем: \(BF = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}\).

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\).

Используя сторону \(AC\) как основание и \(BF\) как высоту: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot \frac{3R}{2}\).

Выполняя вычисления: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot \frac{3R}{2} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).

Ответ: \(\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}\).