Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 856 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Острый угол прямоугольного треугольника равен d, а гипотенуза равна с. Найдите площадь треугольника
Дано: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, где AB = c, угол B = α.
Найти площадь треугольника ABC.
В прямоугольном треугольнике ABC катет AC находится из соотношения:
\(\sin B = \frac{AC}{AB}\)
Откуда \(AC = AB \cdot \sin B = c \cdot \sin α\)
Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:
\(\angle A + \angle B = 90°\)
\(\angle A = 90° — α\)
Катет BC находится из соотношения:
\(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
\(\sin(90° — α) = \cos α\)
Поэтому \(BC = AB \cdot \sin A = c \cdot \cos α\)
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot c \sin α \cdot c \cos α = \frac{1}{2}c^2 \sin α \cos α\)
Ответ: \(\frac{1}{2}c^2 \sin α \cos α\)
Дано: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C, гипотенуза AB = c, угол B = α.
Требуется найти площадь треугольника ABC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В нем угол ACB = 90°, что означает, что катеты AC и BC перпендикулярны друг другу, а AB является гипотенузой.
Для нахождения площади треугольника нам необходимо определить длины обоих катетов AC и BC.
Начнем с катета AC. В прямоугольном треугольнике ABC синус угла B равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB:
\(\sin B = \frac{AC}{AB}\)
Подставляя известные значения:
\(\sin α = \frac{AC}{c}\)
Отсюда выражаем длину катета AC:
\(AC = c \cdot \sin α\)
Теперь найдем длину катета BC. Поскольку в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:
\(\angle A + \angle B = 90°\)
Следовательно:
\(\angle A = 90° — α\)
Синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB:
\(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
Подставляя найденное значение угла A:
\(\sin(90° — α) = \frac{BC}{c}\)
Используя тригонометрическое тождество \(\sin(90° — α) = \cos α\), получаем:
\(\cos α = \frac{BC}{c}\)
Отсюда выражаем длину катета BC:
\(BC = c \cdot \cos α\)
Теперь, когда известны длины обоих катетов, можем вычислить площадь прямоугольного треугольника по формуле:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC\)
Подставляя найденные выражения для катетов:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (c \cdot \sin α) \cdot (c \cdot \cos α)\)
Упрощая выражение:
\(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot c^2 \cdot \sin α \cdot \cos α\)
\(S_{ABC} = \frac{1}{2}c^2 \sin α \cos α\)
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника ABC равна \(\frac{1}{2}c^2 \sin α \cos α\).
