ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 857 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Меньшее основание равнобокой трапеции равно 15 см, а высота — 3 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.

Дано: ABCD — трапеция; CH — высота; AB = CD; CH = \(3\sqrt{3}\) см; BC = 15 см; \(\angle C = 150°\).

Найти: \(S_{ABCD}\).

В трапеции ABCD сумма углов при одной боковой стороне равна 180°:
\(\angle C + \angle D = 180°\)
\(150° + \angle D = 180°\)
\(\angle D = 30°\)

В прямоугольном треугольнике CHD:
\(\tan \angle D = \frac{CH}{DH}\)
\(\tan 30° = \frac{3\sqrt{3}}{DH}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{DH}\)
\(DH = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3}} = 9\)

Поскольку трапеция равнобедренная (AB = CD), высоты из точек B и C образуют равные отрезки на основании AD. Значит, AH = DH = 9.

Тогда AD = AH + HD = 9 + 9 = 18.

Но по условию задачи нужно учесть, что DH находится от проекции точки C, поэтому:
AD = BC + 2 · DH = 15 + 2 · 9 = 33

Площадь трапеции:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH\)
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(33 + 15) \cdot 3\sqrt{3}\)
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 3\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\)

Ответ: \(72\sqrt{3}\) см².

Дано: ABCD — трапеция; CH — высота; AB = CD; CH = \(3\sqrt{3}\) см; BC = 15 см; \(\angle C = 150°\).

Найти: \(S_{ABCD}\).

Поскольку ABCD — трапеция с AB = CD, это равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны между собой, а сумма углов при боковой стороне составляет 180°.

Находим угол D. В трапеции углы C и D являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых BC и AD, поэтому их сумма равна 180°:
\(\angle C + \angle D = 180°\)
\(150° + \angle D = 180°\)
\(\angle D = 180° — 150° = 30°\)

Рассматриваем прямоугольный треугольник CHD, где CH — высота трапеции, опущенная из вершины C на основание AD. В этом треугольнике угол CHD = 90° (так как CH — высота), угол CDH = \(\angle D = 30°\), следовательно, угол DCH = 180° — 90° — 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике CHD используем тригонометрическое соотношение для нахождения DH:
\(\tan \angle D = \frac{CH}{DH}\)
\(\tan 30° = \frac{CH}{DH}\)

Известно, что \(\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}\) и CH = \(3\sqrt{3}\), поэтому:
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{DH}\)

Выражаем DH:
\(DH = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9\)

Поскольку трапеция равнобедренная, высоты, опущенные из вершин B и C на основание AD, отсекают на основании равные отрезки. Если опустить высоту BH₁ из точки B, то AH₁ = DH = 9.

В равнобедренной трапеции основание AD можно представить как:
AD = AH₁ + H₁H + HD, где H₁H — проекция верхнего основания BC на нижнее основание AD.

Поскольку BC параллельно части основания AD, то H₁H = BC = 15.

Следовательно:
AD = AH₁ + BC + HD = 9 + 15 + 9 = 33

Проверяем это другим способом. В равнобедренной трапеции справедливо соотношение:
\(DH = \frac{1}{2}(AD — BC)\)

Подставляя известные значения:
\(9 = \frac{1}{2}(AD — 15)\)
\(18 = AD — 15\)
\(AD = 18 + 15 = 33\)

Результат совпадает, что подтверждает правильность вычислений.

Вычисляем площадь трапеции по формуле:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH\)

Подставляем найденные значения:
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(33 + 15) \cdot 3\sqrt{3}\)
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 3\sqrt{3}\)
\(S_{ABCD} = 24 \cdot 3\sqrt{3}\)
\(S_{ABCD} = 72\sqrt{3}\)

Ответ: \(72\sqrt{3}\) см².