Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
Что делает этот учебник полезным?
- Понятные решения
В учебнике представлены пошаговые решения всех задач, которые можно встретить в школьной программе. Это помогает не только выполнить задание, но и понять, как именно оно решается. - Удобная структура
Учебник разделён на главы, соответствующие темам курса геометрии 8 класса. Это позволяет ученикам быстро найти нужный раздел и сосредоточиться на конкретной теме. - Практическая направленность
Помимо решений, в книге даны полезные советы и методы, которые помогут школьникам быстрее разбираться в новых задачах. Например, как правильно строить чертежи или применять теоремы. - Подготовка к экзаменам
Учебник не только помогает с текущими домашними заданиями, но и готовит учеников к контрольным работам и экзаменам. Это отличный инструмент для повторения материала. - Экономия времени
Благодаря готовым решениям, ученики могут сэкономить время на выполнение домашних заданий и использовать его для более глубокого изучения сложных тем.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Учебник «ГДЗ по Геометрии 8 класс» — это не просто сборник готовых решений. Это полноценный инструмент для обучения, который помогает школьникам понять логику решения задач, развить математическое мышление и уверенно чувствовать себя на уроках. Благодаря этому пособию, геометрия становится не только понятной, но и интересной.
Если вы хотите, чтобы ваш ребёнок не просто списывал ответы, но и действительно понимал материал, этот учебник станет отличным выбором!
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 858 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 90 см.
Дано: трапеция ABCD, AC — биссектриса угла A, BD — биссектриса угла D, CH — высота, CE : AE = 5 : 13, CH = 90 см, AB = CD.
В трапеции ABCD имеем AD || BC, поэтому DH = \(\frac{1}{2}(AD — BC)\).
Для AD и BC с секущей AC: \(\angle BCA = \angle DAC = \angle BAC\).
Рассматривая треугольники AED и BEC: \(\angle BCE = \angle DAE\), \(\angle BEC = \angle AED\) (вертикальные углы), следовательно \(\triangle BEC \sim \triangle AED\) по первому признаку подобия.
Из подобия треугольников: \(\frac{AD}{BC} = \frac{AE}{CE} = \frac{13}{5}\), откуда BC = \(\frac{5}{13}AD\).
Поскольку треугольник ABC равнобедренный: AB = BC = \(\frac{5}{13}AD\).
В прямоугольном треугольнике DCH: DH = \(\frac{1}{2}(AD — \frac{5}{13}AD) = \frac{4}{13}AD\).
По теореме Пифагора: \(CD^2 = CH^2 + DH^2\).
Подставляя известные значения: \((\frac{5}{13}AD)^2 = 90^2 + (\frac{4}{13}AD)^2\).
Упрощая: \(\frac{25}{169}AD^2 = 8100 + \frac{16}{169}AD^2\).
Получаем: \(\frac{9}{169}AD^2 = 8100\).
Отсюда: \(\frac{3}{13}AD = 90\), следовательно AD = 390.
Тогда BC = \(\frac{5}{13} \cdot 390 = 150\).
Площадь трапеции: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH = \frac{1}{2}(390 + 150) \cdot 90 = 24300\) см².
Дано: трапеция ABCD, где AC — биссектриса угла A, BD — биссектриса угла D, CH — высота трапеции, CE : AE = 5 : 13, CH = 90 см, AB = CD (равнобедренная трапеция).
Поскольку ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, то AD || BC. В равнобедренной трапеции высота CH, опущенная из вершины C на основание AD, делит основание так, что DH = \(\frac{1}{2}(AD — BC)\). Это следует из симметрии равнобедренной трапеции относительно перпендикуляра, проведенного через середины оснований.
Рассмотрим свойства биссектрисы AC. Поскольку AC — биссектриса угла BAD, то \(\angle BAC = \angle CAD\). При этом AD || BC, поэтому \(\angle CAD = \angle BCA\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA\), что означает равенство углов при основании треугольника ABC, откуда AB = BC.
Аналогично, поскольку BD — биссектриса угла ADC, получаем \(\angle ADB = \angle BDC\). Используя параллельность AD и BC, имеем \(\angle ADB = \angle DBC\) как накрест лежащие углы. Следовательно, \(\angle BDC = \angle DBC\), что дает CD = BC.
Поскольку AB = CD по условию и AB = BC, CD = BC из доказанного выше, получаем AB = BC = CD.
Для определения отношения сторон рассмотрим треугольники AED и BEC. В этих треугольниках \(\angle DAE = \angle CBE\) (так как AC и BD — биссектрисы), \(\angle AED = \angle BEC\) как вертикальные углы. По двум углам треугольники AED и BEC подобны: \(\triangle AED \sim \triangle BEC\).
Из подобия треугольников следует: \(\frac{AD}{BC} = \frac{AE}{CE} = \frac{ED}{BE}\). По условию CE : AE = 5 : 13, следовательно AE : CE = 13 : 5. Поэтому \(\frac{AD}{BC} = \frac{13}{5}\), откуда BC = \(\frac{5}{13}AD\).
Поскольку AB = BC, имеем AB = \(\frac{5}{13}AD\). Аналогично CD = \(\frac{5}{13}AD\).
В прямоугольном треугольнике DCH применим формулу для DH. Поскольку H — основание высоты CH, опущенной из C на AD, и трапеция равнобедренная, то AH = DH = \(\frac{1}{2}(AD — BC)\). Подставляя BC = \(\frac{5}{13}AD\):
DH = \(\frac{1}{2}(AD — \frac{5}{13}AD) = \frac{1}{2} \cdot \frac{13AD — 5AD}{13} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8AD}{13} = \frac{4AD}{13}\)
В прямоугольном треугольнике DCH по теореме Пифагора: \(CD^2 = CH^2 + DH^2\).
Подставляем известные значения: CD = \(\frac{5}{13}AD\), CH = 90, DH = \(\frac{4}{13}AD\):
\((\frac{5AD}{13})^2 = 90^2 + (\frac{4AD}{13})^2\)
\(\frac{25AD^2}{169} = 8100 + \frac{16AD^2}{169}\)
Вычитаем \(\frac{16AD^2}{169}\) из обеих частей:
\(\frac{25AD^2}{169} — \frac{16AD^2}{169} = 8100\)
\(\frac{9AD^2}{169} = 8100\)
Умножаем обе части на \(\frac{169}{9}\):
\(AD^2 = 8100 \cdot \frac{169}{9} = 900 \cdot 169 = 152100\)
\(AD = \sqrt{152100} = 390\)
Находим BC: BC = \(\frac{5}{13} \cdot 390 = \frac{1950}{13} = 150\)
Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S = \frac{1}{2}(a + b)h\), где a и b — основания, h — высота.
\(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH = \frac{1}{2}(390 + 150) \cdot 90 = \frac{1}{2} \cdot 540 \cdot 90 =\)
\(= 270 \cdot 90 = 24300\)
Ответ: 24300 см².
Упражнения для повторения курса геометрии 8 класса
