Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 8 класс» — это незаменимый помощник для школьников, которые изучают геометрию и хотят улучшить свои знания в этом сложном, но увлекательном предмете. Геометрия — это не только теория, но и практика, которая требует логического мышления, внимательности и способности решать задачи. Данный учебник помогает школьникам справляться с трудностями, возникающими при выполнении домашних заданий, и углубляет понимание материала.
ГДЗ по Геометрии 8 Класс Номер 859 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Площадь равнобокой трапеции равна 36 /2 см^3, а острый угол — 45°. Найдите высоту трапеции, если в нее можно вписать окружность.
Дано: ABCD — трапеция, ABCD — описанная, CH — высота, \(S_{ABCD} = 36\sqrt{2}\) см², \(\angle A = \angle D = 45°\), AB = CD.
Найти: CH.
В прямоугольном треугольнике CHD: \(\sin \angle D = \frac{CH}{CD} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), откуда \(CD = \frac{CH}{\sin 45°} = \frac{CH}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2CH}{\sqrt{2}} = CH\sqrt{2}\).
Аналогично, AB = CD = \(CH\sqrt{2}\).
В описанной трапеции сумма противоположных сторон равна: AD + BC = AB + CD = \(CH\sqrt{2} + CH\sqrt{2} = 2CH\sqrt{2}\).
Площадь трапеции: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 2CH\sqrt{2} \cdot CH = CH^2\sqrt{2}\).
Подставляем известную площадь: \(CH^2\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\).
Отсюда \(CH^2 = 36\), следовательно \(CH = 6\) см.
Ответ: 6 см.
Дано: ABCD — трапеция, ABCD — описанная, CH — высота, \(S_{ABCD} = 36\sqrt{2}\) см², \(\angle A = \angle D = 45°\), AB = CD.
Найти: CH.
Поскольку трапеция ABCD описанная (вокруг неё можно описать окружность), то сумма противоположных сторон равна: AD + BC = AB + CD.
Из условия AB = CD следует, что трапеция равнобедренная.
Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD, где H — основание высоты CH, опущенной из вершины C на основание AD. В этом треугольнике \(\angle CHD = 90°\), \(\angle CDH = \angle D = 45°\).
В прямоугольном треугольнике CHD: \(\sin \angle D = \frac{CH}{CD}\).
Поскольку \(\angle D = 45°\), то \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Следовательно: \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{CH}{CD}\), откуда \(CD = \frac{CH}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2CH}{\sqrt{2}} = \frac{2CH\sqrt{2}}{2} = CH\sqrt{2}\).
Поскольку AB = CD (по условию), то AB = \(CH\sqrt{2}\).
Аналогично, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный высотой из вершины B, получаем те же соотношения.
В описанной трапеции сумма противоположных сторон равна: AD + BC = AB + CD.
Подставляем найденные значения: AD + BC = \(CH\sqrt{2} + CH\sqrt{2} = 2CH\sqrt{2}\).
Площадь трапеции вычисляется по формуле: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}(AD + BC) \cdot CH\).
Подставляем известные значения: \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 2CH\sqrt{2} \cdot CH = CH^2\sqrt{2}\).
По условию \(S_{ABCD} = 36\sqrt{2}\) см², поэтому: \(CH^2\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\).
Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\): \(CH^2 = 36\).
Извлекаем квадратный корень: \(CH = \sqrt{36} = 6\).
Поскольку высота — положительная величина, то CH = 6 см.
Ответ: 6 см.
