ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 1 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что для всех \(a > 0\) выполняется неравенство \(\sqrt{a} > a + \frac{1}{4}\).

\(\sqrt{a} \leq a + \frac{1}{4}\), если \(a \geq 0\).

Поскольку \(\sqrt{a} \leq a\) при любом значении \(a\), то \(\sqrt{a} \leq a + \frac{1}{4}\) при \(a \geq 0\).

Рассмотрим неравенство \(\sqrt{a} \leq a + \frac{1}{4}\), где \(a \geq 0\). Это утверждение связано с тем, что значение квадратного корня всегда неотрицательно и для любого неотрицательного числа \(a\) выполняется неравенство \(\sqrt{a} \leq a\), кроме случая \(a = 1\), когда \(\sqrt{1} = 1\). Если \(a < 1\), то \(\sqrt{a} < a\), а если \(a > 1\), то \(\sqrt{a} < a\) тем более, поскольку функция \(f(a) = a\) растёт быстрее, чем \(g(a) = \sqrt{a}\).

Для доказательства неравенства рассмотрим разность \(a + \frac{1}{4} — \sqrt{a}\). Покажем, что эта разность всегда неотрицательна при \(a \geq 0\). Преобразуем выражение: \(a + \frac{1}{4} — \sqrt{a} \geq 0\). Перенесём \(\sqrt{a}\) в правую часть: \(a + \frac{1}{4} \geq \sqrt{a}\). Теперь рассмотрим функцию \(h(a) = a + \frac{1}{4} — \sqrt{a}\) и найдем её минимум при \(a \geq 0\). Для этого найдём производную: \(h'(a) = 1 — \frac{1}{2\sqrt{a}}\). При \(a = 0\), \(h(0) = 0 + \frac{1}{4} — 0 = \frac{1}{4}\). При \(a = 1\), \(h(1) = 1 + \frac{1}{4} — 1 = \frac{1}{4}\). Для больших значений \(a\), \(\sqrt{a}\) растёт медленнее, чем \(a\), поэтому \(h(a)\) увеличивается.

Проверим граничные случаи. При \(a = 0\), \(\sqrt{0} = 0\) и \(0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\), то есть \(\sqrt{0} \leq \frac{1}{4}\) выполняется. При \(a = 1\), \(\sqrt{1} = 1\), а \(1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\), то есть \(\sqrt{1} = 1 \leq \frac{5}{4}\). При \(a > 1\), \(\sqrt{a} < a\), а значит \(\sqrt{a} < a + \frac{1}{4}\). Таким образом, для всех \(a \geq 0\) выполняется неравенство \(\sqrt{a} \leq a + \frac{1}{4}\), поскольку добавление положительного числа \(\frac{1}{4}\) к \(a\) увеличивает правую часть, и она всегда больше или равна левой части.