ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Задайте формулой вида \(y = ax^2 + n\) функцию, график которой изображён на рисунке.

1) Вершина параболы \(y = ax^2 + n\) имеет координаты \((0; n)\). Поскольку вершиной данной параболы является точка \((0; -4)\), то \(n = -4\).
Имеем: \(y = ax^2 — 4\). Данной параболе принадлежит точка \((1; -2)\).
Подставив ее координаты в последнюю формулу, получаем:
\(-2 = a \cdot 1^2 — 4\)
\(-2 = a — 4\)
\(a = -2 + 4\)
\(a = 2\).
Следовательно, изображен график функции: \(y = 2x^2 — 4\).
Ответ: \(y = 2x^2 — 4\).

2) Вершина параболы \(y = ax^2 + n\) имеет координаты \((0; n)\). Поскольку вершиной данной параболы является точка \((0; 3)\), то \(n = 3\).
Имеем: \(y = ax^2 + 3\). Данной параболе принадлежит точка \((2; 1)\).
Подставив ее координаты в последнюю формулу, получаем:
\(1 = a \cdot 2^2 + 3\)
\(1 = 4a + 3\)
\(4a = 1 — 3\)
\(4a = -2\)
\(a = \frac{-2}{4}\)
\(a = -0{,}5\).
Следовательно, изображен график функции: \(y = -0{,}5x^2 + 3\).
Ответ: \(y = -0{,}5x^2 + 3\).

Рассмотрим первый случай. По условию задачи, график функции является параболой, заданной формулой \(y = ax^2 + n\). Вершина параболы — это точка, в которой ветви параболы достигают своего наименьшего или наибольшего значения, в зависимости от знака коэффициента \(a\). В данном случае вершина находится в точке \((0; -4)\). Это означает, что если мы подставим \(x = 0\) в уравнение функции, то получим \(y = n\). Следовательно, \(n = -4\), и функция принимает вид \(y = ax^2 — 4\). Далее известно, что через эту параболу проходит точка \((1; -2)\), то есть при \(x = 1\) значение функции \(y = -2\). Подставим эти значения в уравнение: \(-2 = a \cdot 1^2 — 4\). После раскрытия скобок и упрощения получаем \(-2 = a — 4\), отсюда \(a = -2 + 4\), то есть \(a = 2\). Таким образом, окончательный вид функции: \(y = 2x^2 — 4\).

Теперь рассмотрим второй случай. Снова работаем с функцией вида \(y = ax^2 + n\), но теперь вершина параболы находится в точке \((0; 3)\). Это значит, что при \(x = 0\) значение функции \(y = n\), то есть \(n = 3\). Следовательно, уравнение функции приобретает вид \(y = ax^2 + 3\). По условию через эту параболу проходит точка \((2; 1)\), что означает: при \(x = 2\) значение функции \(y = 1\). Подставим эти значения в уравнение: \(1 = a \cdot 2^2 + 3\). Раскрываем скобки: \(1 = 4a + 3\). Выразим \(a\): \(4a = 1 — 3\), то есть \(4a = -2\), отсюда \(a = \frac{-2}{4}\), что даёт \(a = -0{,}5\). Таким образом, окончательный вид функции: \(y = -0{,}5x^2 + 3\).

В обоих случаях используется стандартный приём: сначала определяется значение параметра \(n\) по координате вершины параболы, затем подставляется известная точка, лежащая на графике, чтобы найти коэффициент \(a\). Это позволяет полностью восстановить формулу квадратичной функции, зная всего две характерные точки: вершину и одну произвольную точку на графике. Такой способ подходит для любой параболы, ось симметрии которой совпадает с осью \(y\), то есть для функций вида \(y = ax^2 + n\), где вершина всегда имеет координаты \((0; n)\).