ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 10 Номер 17 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Задайте формулой вида \(y = a(x + m)^2 + n\) функцию, график которой изображён на рисунке.

1) Вершина параболы \(y = a(x + m)^2 + n\) имеет координаты \((-m; n)\). Поскольку вершиной данной параболы является точка \((2; 2)\), то \(m = -2, n = 2\). Имеем: \(y = a(x — 2)^2 + 2\). Данной параболе принадлежит точка \((1; 3)\). Подставив её координаты в последнюю формулу, получаем: \(3 = a \cdot (1 — 2)^2 + 2\) \(3 = a \cdot (-1)^2 + 2\) \(3 = a + 2\) \(a = 1\). Следовательно, изображён график функции: \(y = (x — 2)^2 + 2\). Ответ: \(y = (x — 2)^2 + 2\).

2) Вершина параболы \(y = a(x + m)^2 + n\) имеет координаты \((-m; n)\). Поскольку вершиной данной параболы является точка \((4; 1)\), то \(m = -4, n = 1\). Имеем: \(y = a(x — 4)^2 + 1\). Данной параболе принадлежит точка \((2; 0)\). Подставив её координаты в последнюю формулу, получаем: \(0 = a \cdot (2 — 4)^2 + 1\) \(0 = a \cdot (-2)^2 + 1\) \(0 = 4a + 1\) \(4a = -1\) \(a = -\frac{1}{4}\) \(a = -0,25\). Следовательно, изображён график функции: \(y = -0,25(x — 4)^2 + 1\). Ответ: \(y = -0,25(x — 4)^2 + 1\).

Рассмотрим подробно первый пример. Формула квадратичной функции в виде вершины записывается как \(y = a(x + m)^2 + n\), где параметры \(m\) и \(n\) определяют положение вершины параболы, а коэффициент \(a\) отвечает за направление ветвей и ширину параболы. Вершина такой параболы имеет координаты \((-m; n)\). В задании указано, что вершиной параболы является точка \((2; 2)\). Это значит, что \(m = -2\) (так как \(-m = 2\)), а \(n = 2\). Подставляем эти значения в формулу, получаем: \(y = a(x — 2)^2 + 2\). Теперь необходимо найти коэффициент \(a\), чтобы функция проходила через точку \((1; 3)\), то есть при \(x = 1\) значение функции \(y = 3\).

Подставим координаты точки в уравнение: \(3 = a(1 — 2)^2 + 2\). Считаем скобки: \(1 — 2 = -1\), возводим в квадрат: \((-1)^2 = 1\), получаем: \(3 = a \cdot 1 + 2\), то есть \(3 = a + 2\). Переносим 2 влево: \(3 — 2 = a\), значит \(a = 1\). Теперь подставляем найденные параметры в исходную формулу: \(y = (x — 2)^2 + 2\). Это уравнение параболы с вершиной в точке \((2; 2)\), ветви направлены вверх, так как \(a > 0\), а ширина стандартная, как у обычной параболы \(y = x^2\).

Второй пример рассматривается аналогично. Вершина параболы \(y = a(x + m)^2 + n\) имеет координаты \((-m; n)\). Дано, что вершина — точка \((4; 1)\), значит \(m = -4\), \(n = 1\). Подставляем: \(y = a(x — 4)^2 + 1\). Для нахождения коэффициента \(a\) используем точку \((2; 0)\), которая принадлежит графику, то есть при \(x = 2\) значение функции \(y = 0\). Подставляем: \(0 = a(2 — 4)^2 + 1\). Считаем скобки: \(2 — 4 = -2\), возводим в квадрат: \((-2)^2 = 4\), получаем: \(0 = a \cdot 4 + 1\), то есть \(0 = 4a + 1\). Переносим 1 влево: \(0 — 1 = 4a\), значит \(4a = -1\), отсюда \(a = -\frac{1}{4}\). Подставляем параметры в формулу: \(y = -0,25(x — 4)^2 + 1\).

Таким образом, оба примера показывают, как по координатам вершины и одной точке, принадлежащей графику, можно полностью восстановить уравнение параболы в вершиной форме. В первом случае вершина \((2; 2)\), точка \((1; 3)\), и уравнение принимает вид \(y = (x — 2)^2 + 2\). Во втором случае вершина \((4; 1)\), точка \((2; 0)\), и уравнение принимает вид \(y = -0,25(x — 4)^2 + 1\). В обоих случаях подробно применяются свойства квадратичной функции, арифметические преобразования и подстановка значений для нахождения параметров.