ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 19 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

19. Постройте график функции:
1) \(f(x) = \frac{x^3 — 4x^2 + 3x}{x}\);
2) \(f(x) = \frac{x^3 + 5x^3 — 6x}{x-1}\).

1) \(f(x) = \frac{x^3 — 4x^2 + 3x}{x}\)
\(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\)
Имеем:
\(f(x) = \frac{x^3 — 4x^2 + 3x}{x} = \frac{x(x^2 — 4x + 3)}{x} = x^2 — 4x + 3\)

2) \(f(x) = \frac{x^3 + 5x^3 — 6x}{x-1}\)
\(D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\)
Имеем:
\(f(x) = \frac{x^3 + 5x^3 — 6x}{x-1} = \frac{6x^3 — 6x}{x-1} = \frac{6x(x^2-1)}{x-1} = \frac{6x(x-1)(x+1)}{x-1} = 6x(x+1) = 6x^2 + 6x\)

1) \(f(x) = \frac{x^3 — 4x^2 + 3x}{x}\)
Для начала определим область определения функции. В знаменателе стоит \(x\), значит, \(x\) не должен равняться нулю, иначе выражение не имеет смысла. Поэтому область определения: \(D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\), то есть все действительные числа, кроме нуля.

Далее преобразуем числитель. В числителе выражение \(x^3 — 4x^2 + 3x\) можно разложить на множители. Вынесем \(x\) за скобку: \(x^3 — 4x^2 + 3x = x(x^2 — 4x + 3)\). Теперь заметим, что квадратный трёхчлен \(x^2 — 4x + 3\) можно разложить на множители: \(x^2 — 4x + 3 = (x — 1)(x — 3)\). Тогда весь числитель примет вид \(x(x — 1)(x — 3)\).

Теперь подставим это в исходную дробь:
\(f(x) = \frac{x(x — 1)(x — 3)}{x}\).
Сокращаем \(x\) (при \(x \neq 0\)), получаем:
\(f(x) = (x — 1)(x — 3) = x^2 — 4x + 3\).
Таким образом, функция совпадает с квадратичной функцией \(x^2 — 4x + 3\) на всей своей области определения, за исключением точки \(x = 0\), где исходная дробь не определена.
График будет выглядеть как парабола, но в точке \(x = 0\) будет «дырка» — там значение функции не определено.

2) \(f(x) = \frac{x^3 + 5x^3 — 6x}{x-1}\)
Сначала упростим числитель: \(x^3 + 5x^3 — 6x = 6x^3 — 6x\).
Область определения этой функции — все значения \(x\), кроме точки \(x = 1\), так как в знаменателе стоит выражение \(x-1\), которое обращается в ноль при \(x = 1\).
То есть: \(D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

Разложим числитель на множители:
\(6x^3 — 6x = 6x(x^2 — 1)\).
А \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\), то есть:
\(6x(x^2 — 1) = 6x(x — 1)(x + 1)\).

Подставим это в исходную дробь:
\(f(x) = \frac{6x(x — 1)(x + 1)}{x — 1}\).
Сокращаем \(x — 1\) (при \(x \neq 1\)), получаем:
\(f(x) = 6x(x + 1) = 6x^2 + 6x\).
Таким образом, на всей области определения функция совпадает с квадратичной функцией \(6x^2 + 6x\), но в точке \(x = 1\) исходная дробь не определена, поэтому на графике будет «дырка» в этой точке.

В каждом случае область определения исключает одну точку, где происходит деление на ноль. График функции совпадает с параболой, соответствующей упрощённому выражению, но имеет разрыв (дырку) в исключённой точке. Это связано с тем, что исходная дробь не определена при этих значениях \(x\), а после сокращения множителя в числителе и знаменателе мы получаем выражение, определённое всюду, кроме этих точек.