ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 25 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = |x|(x + 1) — 3x\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

\(y = |x|(x + 1) — 3x\).

При \(x \geq 0\) имеем:
\(y = x(x + 1) — 3x = x^{2} + x — 3x = x^{2} — 2x\).

При \(x < 0\) имеем:
\(y = -x(x + 1) — 3x = -x^{2} — x — 3x = -x^{2} — 4x\).

Следовательно, \(y = \left\{
\begin{array}{ll}
x^{2} — 2x, & \text{если } x \geq 0 \\
-x^{2} — 4x, & \text{если } x < 0
\end{array}
\right.\)

\(y = x^{2} — 2x\), если \(x \geq 0\);

\(y = -x^{2} — 4x\), если \(x < 0\);

Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -1\) и \(m = 4\).

Ответ: при \(m = -1\) и \(m = 4\).

Рассмотрим функцию \(y = |x|(x + 1) — 3x\). Для того чтобы упростить выражение, необходимо рассмотреть два случая: когда \(x \geq 0\) и когда \(x < 0\). Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\), поэтому выражение преобразуется к виду \(y = x(x + 1) — 3x = x^{2} + x — 3x = x^{2} — 2x\). Если же \(x < 0\), то \(|x| = -x\), тогда \(y = -x(x + 1) — 3x = -x^{2} — x — 3x = -x^{2} — 4x\). Таким образом, функция является кусочной и задаётся двумя формулами: при \(x \geq 0\) — парабола \(y = x^{2} — 2x\), при \(x < 0\) — парабола \(y = -x^{2} — 4x\).

Далее рассмотрим, как найти такие значения \(m\), при которых прямая \(y = m\) будет иметь ровно две общие точки с графиком функции. Это означает, что уравнение \(y = m\) должно пересекать график ровно в двух точках. Для этого приравниваем каждую ветвь функции к \(m\): для \(x \geq 0\) решаем уравнение \(x^{2} — 2x = m\), а для \(x < 0\) — уравнение \(-x^{2} — 4x = m\). Решая каждое из этих квадратных уравнений относительно \(x\), мы определяем количество корней (точек пересечения) в соответствующих областях. Для квадратичной функции количество решений зависит от дискриминанта: если он равен нулю, то решение одно (точка касания), если больше нуля — два решения (две точки пересечения), если меньше нуля — решений нет (\(\emptyset\)). Необходимо выбрать такие \(m\), чтобы в сумме по обеим ветвям было ровно две точки пересечения.

Проверим подробно оба случая. Для первой ветви (\(x \geq 0\)): \(x^{2} — 2x = m\) или \(x^{2} — 2x — m = 0\). Дискриминант этого уравнения: \(D_{1} = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 4 + 4m\). Корни будут: \(x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4m}}{2}\). Для второй ветви (\(x < 0\)): \(-x^{2} — 4x = m\) или \(x^{2} + 4x + m = 0\). Дискриминант: \(D_{2} = 16 — 4m\). Корни: \(x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 — 4m}}{2}\). Для каждого значения \(m\) нужно проверить, сколько решений попадает в соответствующую область (\(x \geq 0\) или \(x < 0\)). Прямая \(y = m\) будет иметь ровно две общие точки с графиком тогда, когда либо по одной точке на каждой ветви, либо две точки на одной ветви и ни одной на другой. В данном случае это происходит при \(m = -1\) и \(m = 4\), что видно из анализа дискриминантов и областей допустимых значений для \(x\).

В результате, окончательный ответ: прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки при \(m = -1\) и \(m = 4\).