ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 26 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Постройте график функции \(y = 5|x-2| — x^2 + 5x — 6\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

№ 26.

\(y = 5|x — 2| — x^{2} + 5x — 6.\)
При \(x \geq 2\) имеем:
\(y = 5(x — 2) — x^{2} + 5x — 6 = 5x — 10 — x^{2} + 5x — 6 = — x^{2} + 10x — 16.\)

При \(x < 2\) имеем:
\(y = -5(x — 2) — x^{2} + 5x — 6 = -5x + 10 — x^{2} + 5x — 6 = — x^{2} + 4.\)

Следовательно,
\(y = \begin{cases} -x^{2} + 10x — 16, & если\ x \geq 2 \\ -x^{2} + 4, & если\ x < 2 \end{cases}\)

\(y = -x^{2} + 10x — 16,\) если \(x \geq 2;\)

\(y = -x^{2} + 4,\) если \(x < 2;\)

Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки при \(m = 0\) и \(m = 4.\)

Ответ: при \(m = 0\) и \(m = 4.\)

Рассмотрим функцию \( y = 5|x — 2| — x^{2} + 5x — 6 \). Для удобства анализа разобьем область определения на два случая: когда \( x \geq 2 \) и когда \( x < 2 \). Это связано с тем, что выражение \( |x — 2| \) по определению модуля раскрывается по-разному в зависимости от знака подмодульного выражения. Если \( x \geq 2 \), то \( |x — 2| = x — 2 \), а если \( x < 2 \), то \( |x — 2| = -(x — 2) = -x + 2 \).

В первом случае, когда \( x \geq 2 \), подставляем \( |x — 2| = x — 2 \) в исходную функцию:
\( y = 5(x — 2) — x^{2} + 5x — 6 \)
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\( y = 5x — 10 — x^{2} + 5x — 6 \)
\( y = -x^{2} + 10x — 16 \)
Таким образом, на промежутке \( x \geq 2 \) функция принимает вид квадратичной функции \( y = -x^{2} + 10x — 16 \), которая является ветвью параболы, направленной вниз.

Во втором случае, когда \( x < 2 \), раскрываем модуль по определению:
\( y = 5(-x + 2) — x^{2} + 5x — 6 \)
Раскроем скобки:
\( y = -5x + 10 — x^{2} + 5x — 6 \)
\( y = -x^{2} + 4 \)
Здесь на промежутке \( x < 2 \) функция также является квадратичной, но уже в виде \( y = -x^{2} + 4 \), то есть парабола, вершина которой находится в точке \( x = 0 \), \( y = 4 \), и также направлена вниз.

Далее рассмотрим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) будет иметь с графиком ровно три общие точки. Для этого необходимо решить уравнение \( 5|x — 2| — x^{2} + 5x — 6 = m \) и посмотреть, при каких \( m \) будет ровно три корня. Разделим анализ на оба случая:
1) Для \( x \geq 2 \) решаем \( -x^{2} + 10x — 16 = m \).
2) Для \( x < 2 \) решаем \( -x^{2} + 4 = m \).
Рассмотрим пересечение прямой \( y = m \) с каждым из участков графика: на участке \( x < 2 \) уравнение превращается в \( -x^{2} + 4 = m \), то есть \( x^{2} = 4 — m \). Корни будут существовать, если \( 4 — m \geq 0 \), то есть \( m \leq 4 \). На участке \( x \geq 2 \) уравнение превращается в \( -x^{2} + 10x — 16 = m \), то есть \( x^{2} — 10x + (m + 16) = 0 \). Количество корней зависит от дискриминанта: \( D = 100 — 4(m + 16) \). Корни будут существовать, если дискриминант положителен, и \( x \geq 2 \).

Чтобы получить ровно три точки пересечения, одна из ветвей должна давать один корень, а другая — два. Это возможно, если прямая касается одной из ветвей параболы и пересекает другую в двух точках. Например, если \( m = 4 \), то на участке \( x < 2 \) уравнение \( -x^{2} + 4 = 4 \) имеет единственный корень \( x = 0 \), а на участке \( x \geq 2 \) уравнение \( -x^{2} + 10x — 16 = 4 \), то есть \( -x^{2} + 10x — 20 = 0 \), имеет два корня при \( x \geq 2 \). Аналогично для \( m = 0 \) на участке \( x < 2 \) уравнение \( -x^{2} + 4 = 0 \) имеет два корня, а на участке \( x \geq 2 \) уравнение \( -x^{2} + 10x — 16 = 0 \) имеет один корень.

Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки при \( m = 0 \) и \( m = 4 \).
Ответ: при \( m = 0 \) и \( m = 4 \).