ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 11 Номер 3 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Дана функция \(f(x) = x^2 — 4x — 2\). Найдите значение аргумента \(x\), при котором:
1) \(f(x) = 3\);
2) \(f(x) = -6\).

№ 3.

\(f(x) = x^{2} — 4x — 2.\)

1) \(f(x) = 3.\)

Чтобы найти искомое значение аргумента, решим уравнение:

\(x^{2} — 4x — 2 = 3\)

\(x^{2} — 4x — 2 — 3 = 0\)

\(x^{2} — 4x — 5 = 0\)

\(D = 16 + 4 \cdot 5 = 36.\)

\(x_{1} = \frac{4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{4 — 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1;\)

\(x_{2} = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5.\)

Ответ: при \(x = -1\) и \(x = 5.\)

2) \(f(x) = -6.\)

Чтобы найти искомое значение аргумента, решим уравнение:

\(x^{2} — 4x — 2 = -6\)

\(x^{2} — 4x — 2 + 6 = 0\)

\(x^{2} — 4x + 4 = 0\)

\((x — 2)^{2} = 0\)

\(x — 2 = 0\)

\(x = 2.\)

Ответ: при \(x = 2.\)

Дана функция \(f(x) = x^{2} — 4x — 2\). В первом пункте требуется найти такие значения аргумента \(x\), при которых функция принимает значение \(3\). Для этого приравниваем выражение функции к числу \(3\): \(x^{2} — 4x — 2 = 3\). Далее переносим все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \(x^{2} — 4x — 2 — 3 = 0\), что упрощается до \(x^{2} — 4x — 5 = 0\). Это уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Находим дискриминант по формуле \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\). Подставляем значения: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Далее используем формулу для корней квадратного уравнения: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем значения: \(x_{1} = \frac{4 — 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) и \(x_{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Таким образом, при \(x = -1\) и \(x = 5\) функция принимает значение \(3\).

Во втором пункте необходимо найти такие \(x\), при которых \(f(x) = -6\). Аналогично первому пункту, приравниваем выражение функции к \(-6\): \(x^{2} — 4x — 2 = -6\). Переносим все члены в одну сторону: \(x^{2} — 4x — 2 + 6 = 0\), что упрощается до \(x^{2} — 4x + 4 = 0\). Это квадратное уравнение, но оно особое, так как его можно разложить на множители: \(x^{2} — 4x + 4 = (x — 2)^{2}\). Следовательно, уравнение принимает вид \((x — 2)^{2} = 0\). Решением такого уравнения является одно значение: \(x — 2 = 0\), откуда \(x = 2\). Таким образом, функция принимает значение \(-6\) только при \(x = 2\).

В данном задании продемонстрировано, как решать квадратные уравнения, возникающие при нахождении аргументов функции для заданных значений. В первом случае уравнение имеет два корня, что соответствует двум значениям \(x\), при которых функция равна \(3\). Во втором случае уравнение приводит к одному корню, и только при \(x = 2\) функция принимает значение \(-6\). Все вычисления выполняются с применением формул для дискриминанта и корней квадратного уравнения, а также с преобразованием уравнений к стандартному виду.