ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:
1) \(\{x^2 + 6x — 16 < 0;\ 4x + 12\ ?\ 0\}\);
2) \(\{x^2 + 2x — 15\ ?\ 0;\ x^2 + 3x > 0\}\).

1) \(\{x^2 + 6x — 16 < 0;\ 4x + 12 \leq 0\}\)

Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 + 6x — 16\):

\(x^2 + 6x — 16 = 0\).

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -6;\ x_1x_2 = -16;\ x_1 = -8,\ x_2 = 2\).

Найдем корни линейного уравнения \(4x + 12\):

\(4x + 12 = 0\)

\(4x = -12\)

\(x = -3\).

Решением данной системы неравенств является пересечение множеств \((-8; 2)\) и \((-\infty; -3]\):

\((-8; -3]\)

2) \(\{x^2 + 2x — 15 \leq 0;\ x^2 + 3x > 0\}\)

Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 + 2x — 15\):

\(x^2 + 2x — 15 = 0\).

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -2;\ x_1x_2 = -15;\ x_1 = -5,\ x_2 = 3\).

Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 + 3x\):

\(x^2 + 3x = 0\)

\(x(x + 3) = 0\)

\(x_1 = 0,\ x_2 = -3\).

Решением данной системы неравенств является пересечение множеств \([-5; 3]\) и \((-\infty; -3) \cup (0; +\infty)\):

\([-5; -3) \cup (0; 3]\)

1) \(\{x^2 + 6x — 16 < 0;\ 4x + 12 \leq 0\}\)

Для решения первого неравенства \(x^2 + 6x — 16 < 0\) определим его корни. Это квадратное уравнение, поэтому находим дискриминант: \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\). Корни уравнения: \(x_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -8\), \(x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2\). Квадратичная функция положительна вне промежутка между корнями и отрицательна внутри этого промежутка, так как ветви параболы направлены вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный). Следовательно, множество решений первого неравенства: \(x \in (-8; 2)\).

Рассмотрим второе неравенство \(4x + 12 \leq 0\). Это линейное неравенство. Переносим 12 вправо: \(4x \leq -12\). Делим обе части на 4: \(x \leq -3\). Таким образом, множество решений второго неравенства: \(x \in (-\infty; -3]\).

Для системы неравенств необходимо найти пересечение полученных множеств. Пересекаем промежутки: \(x \in (-8; 2)\) и \(x \in (-\infty; -3]\). Пересечение — это значения, которые одновременно лежат в обоих промежутках. Это множество \(x \in (-8; -3]\).

2) \(\{x^2 + 2x — 15 \leq 0;\ x^2 + 3x > 0\}\)

Рассмотрим первое неравенство \(x^2 + 2x — 15 \leq 0\). Найдем корни квадратного уравнения: \(x^2 + 2x — 15 = 0\). Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\). Корни: \(x_1 = \frac{-2 — 8}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3\). Функция отрицательна или равна нулю между корнями, так как ветви направлены вверх. Значит, множество решений: \(x \in [-5; 3]\).

Второе неравенство \(x^2 + 3x > 0\) также квадратное, но однородное. Корни: \(x^2 + 3x = 0\), значит \(x(x + 3) = 0\), отсюда \(x_1 = 0\), \(x_2 = -3\). Анализируем знаки: при \(x < -3\) оба множителя отрицательны, их произведение положительно; при \(-3 < x < 0\) один множитель отрицателен, другой положителен — произведение отрицательно; при \(x > 0\) оба положительны — произведение положительно. Таким образом, множество решений: \(x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)\).

Для системы находим пересечение множеств: \(x \in [-5; 3]\) и \(x \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)\). Пересекаем: для первого промежутка пересечение с \((-\infty; -3)\) даст \([-5; -3)\), а с \((0; +\infty)\) — \((0; 3]\). Итоговое множество: \(x \in [-5; -3) \cup (0; 3]\).