ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 17 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:
1) \(3x^2 + 4|x| — 4 < 0\);
2) \(x|x| — 2x — 8 \; ? \; 0\).

1) \(3x^{2} + 4|x| — 4 < 0\).
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
\(\begin{cases} x \geq 0 \\ 3x^{2} + 4x — 4 < 0 \end{cases}\),
\(\begin{cases} x < 0 \\ 3x^{2} — 4x — 4 < 0 \end{cases}\).

Решим первую систему совокупности:
\(\begin{cases} x \geq 0 \\ 3x^{2} + 4x — 4 < 0 \end{cases}\).
Найдем корни квадратного трехчлена \(3x^{2} + 4x — 4\):
\(3x^{2} + 4x — 4 = 0\),
\(D = 16 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64\).
\(x_{1} = \frac{-4 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 — 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2\);
\(x_{2} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Таким образом, \(3x^{2} + 4x — 4 < 0\) при \(x \in (-2; \frac{2}{3})\).
Решением первой системы совокупности является промежуток \([0; \frac{2}{3})\).

Решим вторую систему совокупности:
\(\begin{cases} x < 0 \\ 3x^{2} — 4x — 4 < 0 \end{cases}\).
Найдем корни квадратного трехчлена \(3x^{2} — 4x — 4\):
\(3x^{2} — 4x — 4 = 0\),
\(D = 16 + 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64\).
\(x_{1} = \frac{4 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 — 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\);
\(x_{2} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\).
Таким образом, \(3x^{2} — 4x — 4 < 0\) при \(x \in (-\frac{2}{3}; 2)\).
Решением второй системы совокупности является промежуток \((- \frac{2}{3}; 0)\).

Множеством решений данного неравенства является промежуток \((- \frac{2}{3}; \frac{2}{3})\).

Ответ: \((- \frac{2}{3}; \frac{2}{3})\).

2) \(x|x| — 2x — 8 \leq 0\).
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
\(\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} — 2x — 8 \leq 0 \end{cases}\),
\(\begin{cases} x < 0 \\ -x^{2} — 2x — 8 \leq 0 \end{cases}\).

Решим первую систему совокупности:
\(\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} — 2x — 8 \leq 0 \end{cases}\).
Найдем корни квадратного трехчлена \(x^{2} — 2x — 8\):
\(x^{2} — 2x — 8 = 0\).
По теореме Виета:
\(x_{1} + x_{2} = 2\); \(x_{1} x_{2} = -8\);
\(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 4\).
Таким образом, \(x^{2} — 2x — 8 \leq 0\) при \(x \in [-2; 4]\).
Решением первой системы совокупности является промежуток \([0; 4]\).

Решим вторую систему совокупности:
\(\begin{cases} x < 0 \\ -x^{2} — 2x — 8 \leq 0 \end{cases}\).
Найдем корни квадратного трехчлена \(-x^{2} — 2x — 8\):
\(-x^{2} — 2x — 8 = 0\),
\(x^{2} + 2x + 8 = 0\),
\(D = 4 — 4 \cdot 8 = 4 — 32 = -28 < 0\) → корней нет.
Таким образом, \(-x^{2} — 2x — 8 \leq 0\) при \(x \in \emptyset\).
Решением второй системы совокупности является \((-\infty; 0)\).

Множеством решений данного неравенства является промежуток \((-\infty; 4]\).

Ответ: \((-\infty; 4]\).

1) Рассмотрим неравенство \(3x^{2} + 4|x| — 4 < 0\). Поскольку в выражении присутствует модуль \(|x|\), нам необходимо рассмотреть два случая: когда \(x \geq 0\) и когда \(x < 0\). Это связано с тем, что \(|x| = x\) при \(x \geq 0\) и \(|x| = -x\) при \(x < 0\). Таким образом, исходное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:
\(\begin{cases} x \geq 0 \\ 3x^{2} + 4x — 4 < 0 \end{cases}\) и
\(\begin{cases} x < 0 \\ 3x^{2} — 4x — 4 < 0 \end{cases}\).

Для первой системы рассмотрим квадратное неравенство \(3x^{2} + 4x — 4 < 0\). Найдем корни соответствующего уравнения \(3x^{2} + 4x — 4 = 0\) с помощью дискриминанта:
\(D = 4^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\).
Корни вычисляются по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a=3\), \(b=4\). Получаем:
\(x_{1} = \frac{-4 — 8}{6} = -2\),
\(x_{2} = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{2}{3}\).
Поскольку парабола с положительным коэффициентом при \(x^{2}\) направлена вверх, неравенство \(3x^{2} + 4x — 4 < 0\) выполняется между корнями, то есть при \(x \in (-2; \frac{2}{3})\). Учитывая условие \(x \geq 0\), пересечение даёт промежуток \([0; \frac{2}{3})\).

Для второй системы решим неравенство \(3x^{2} — 4x — 4 < 0\) при \(x < 0\). Найдем корни уравнения \(3x^{2} — 4x — 4 = 0\):
\(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64\).
Корни:
\(x_{1} = \frac{4 — 8}{6} = -\frac{2}{3}\),
\(x_{2} = \frac{4 + 8}{6} = 2\).
Неравенство \(3x^{2} — 4x — 4 < 0\) при \(x \in (-\frac{2}{3}; 2)\). С учётом условия \(x < 0\) решение ограничивается промежутком \((- \frac{2}{3}; 0)\).

Объединяя решения обеих систем, получаем множество решений исходного неравенства: \((- \frac{2}{3}; \frac{2}{3})\).

2) Рассмотрим неравенство \(x|x| — 2x — 8 \leq 0\). Аналогично первому случаю, разделим на два случая в зависимости от знака \(x\):
\(\begin{cases} x \geq 0 \\ x^{2} — 2x — 8 \leq 0 \end{cases}\) и
\(\begin{cases} x < 0 \\ -x^{2} — 2x — 8 \leq 0 \end{cases}\).

В первой системе решаем неравенство \(x^{2} — 2x — 8 \leq 0\). Найдем корни уравнения \(x^{2} — 2x — 8 = 0\). По теореме Виета сумма корней равна 2, произведение корней равно -8. Корни: \(x_{1} = -2\), \(x_{2} = 4\). Парабола с положительным коэффициентом при \(x^{2}\) направлена вверх, следовательно, неравенство выполняется на промежутке между корнями, то есть при \(x \in [-2; 4]\). Учитывая условие \(x \geq 0\), решение первой системы — промежуток \([0; 4]\).

Во второй системе решаем неравенство \(-x^{2} — 2x — 8 \leq 0\), или эквивалентно \(x^{2} + 2x + 8 \geq 0\). Найдем корни уравнения \(x^{2} + 2x + 8 = 0\):
Дискриминант \(D = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 — 32 = -28 < 0\), корней нет. Поскольку квадратное выражение всегда положительно, неравенство выполняется для всех \(x\). Однако исходное неравенство связано с условием \(x < 0\), значит решение второй системы — это весь интервал \((-\infty; 0)\).

Объединяя решения обеих систем, получаем множество решений исходного неравенства: \((-\infty; 4]\).