ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 12 Номер 18 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(\frac{x^2 — 5}{21 + 2x — 3x^2} \; ? \; 0\);
2) \((x + 3)^2 (x^2 — 49) < 0\);
3) \(|x| (x^2 — 13x + 42) > 0\);
4) \(\sqrt{x (x^2 — x — 12)} < 0\);
5) \(\sqrt{x (x^2 + 2x — 24)} \; ? \; 0\);
6) \(\frac{x^2 — 11x — 12}{(x — 6)^2} \; ? \; 0\).

1) \(-\frac{x^2 — 5}{21 + 2x — 3x^2} \geq 0.\)
Поскольку \(-x^2 — 5 < 0\) при \(x \in \mathbb{R}\), то данное неравенство равносильно неравенству \(21 + 2x — 3x^2 < 0.\)
Найдем корни квадратного трехчлена \(21 + 2x — 3x^2:\)
\(21 + 2x — 3x^2 = 0\)
\(3x^2 — 2x — 21 = 0\)
\(D = 4 + 4 \cdot 3 \cdot 21 = 256.\)
\(x_1 = \frac{2 — \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} = -2 \frac{1}{3};\)
\(x_2 = \frac{2 + \sqrt{256}}{6} = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3.\)
Таким образом, \(21 + 2x — 3x^2 < 0\) при \(x \in (-\infty; -2 \frac{1}{3}) \cup (3; +\infty).\)
Решениями данного неравенства являются промежутки \((- \infty; -2 \frac{1}{3}) \cup (3; +\infty).\)
Ответ: \((- \infty; -2 \frac{1}{3}) \cup (3; +\infty).\)

2) \((x + 3)^2 (x^2 — 49) < 0.\)
Поскольку \((x + 3)^2 > 0\) при \(x \neq -3\), то данное неравенство равносильно системе неравенств
\(\begin{cases} x \neq -3 \\ x^2 — 49 < 0 \end{cases}\)
Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 — 49:\)
\(x^2 — 49 = 0\)
\(x^2 = 49\)
\(x_1 = -7, \quad x_2 = 7.\)
Таким образом, \(x^2 — 49 < 0\) при \(x \in (-7; 7).\)
Решениями данного неравенства являются промежутки \((-7; -3) \cup (-3; 7).\)
Ответ: \((-7; -3) \cup (-3; 7).\)

3) \(|x| (x^2 — 13x + 42) > 0.\)
Поскольку \(|x| > 0\) при \(x \neq 0\), то данное неравенство равносильно системе неравенств
\(\begin{cases} x \neq 0 \\ x^2 — 13x + 42 > 0 \end{cases}\)
Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 — 13x + 42:\)
\(x^2 — 13x + 42 = 0.\)
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = 13; \quad x_1 x_2 = 42;\)
\(x_1 = 6, \quad x_2 = 7.\)
Таким образом, \(x^2 — 13x + 42 > 0\) при \(x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty).\)
Решениями данного неравенства являются промежутки \((- \infty; 0) \cup (0; 6) \cup (7; +\infty).\)
Ответ: \((- \infty; 0) \cup (0; 6) \cup (7; +\infty).\)

4) \(\sqrt{x (x^2 — x — 12)} < 0.\)
Поскольку выражение \(\sqrt{x}\) определено при \(x \geq 0\) и принимает при этом положительные значения, то данное неравенство равносильно системе неравенств
\(\begin{cases} x > 0 \\ x^2 — x — 12 < 0 \end{cases}\)
Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 — x — 12:\)
\(x^2 — x — 12 = 0.\)
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = 1; \quad x_1 x_2 = -12;\)
\(x_1 = -3, \quad x_2 = 4.\)
Таким образом, \(x^2 — x — 12 < 0\) при \(x \in (-3; 4).\)
Решением данного неравенства является промежуток \((0; 4).\)
Ответ: \((0; 4).\)

5) \(\sqrt{x (x^2 + 2x — 24)} \geq 0.\)
Поскольку \(\sqrt{x} \geq 0\) при \(x \in \mathbb{R}\), то данное неравенство равносильно системе неравенств
\(\begin{cases} x \geq 0 \\ x^2 + 2x — 24 \geq 0 \end{cases}\)
Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 + 2x — 24:\)
\(x^2 + 2x — 24 = 0.\)
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -2; \quad x_1 x_2 = -24;\)
\(x_1 = -6, \quad x_2 = 4.\)
Таким образом, \(x^2 + 2x — 24 \geq 0\) при \(x \in (-\infty; -6] \cup [4; +\infty).\)
Решением данного неравенства является промежуток \([4; +\infty).\)
Ответ: \([4; +\infty).\)

6) \(\frac{x^2 — 11x — 12}{(x — 6)^2} \leq 0.\)
Поскольку \((x — 6)^2 > 0\) при \(x \neq 6\), то данное неравенство равносильно системе неравенств
\(\begin{cases} x \neq 6 \\ x^2 — 11x — 12 \leq 0 \end{cases}\)
Найдем корни квадратного трехчлена \(x^2 — 11x — 12:\)
\(x^2 — 11x — 12 = 0.\)
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = 11; \quad x_1 x_2 = -12;\)
\(x_1 = -1, \quad x_2 = 12.\)
Таким образом, \(x^2 — 11x — 12 \leq 0\) при \(x \in [-1; 12].\)
Решениями данного неравенства являются промежутки \([-1; 6) \cup (6; 12].\)
Ответ: \([-1; 6) \cup (6; 12].\)

Рассмотрим неравенство \(\sqrt{x (x^2 + 2x — 24)} \geq 0.\) Для того чтобы понять, при каких значениях \(x\) это неравенство выполняется, необходимо внимательно проанализировать выражение под корнем и свойства самой функции корня.

Во-первых, функция \(\sqrt{y}\) определена только для \(y \geq 0\), то есть выражение под корнем должно быть неотрицательным. В нашем случае подкоренное выражение — это произведение \(x (x^2 + 2x — 24)\). Значит, чтобы \(\sqrt{x (x^2 + 2x — 24)}\) было определено, необходимо, чтобы \(x (x^2 + 2x — 24) \geq 0.\) Это условие накладывает ограничения на \(x\), которые мы должны найти.

Во-вторых, сама функция \(\sqrt{z}\) для любого \(z \geq 0\) принимает значения \( \geq 0\). Значит, неравенство \(\sqrt{x (x^2 + 2x — 24)} \geq 0\) фактически сводится к условию определения функции, то есть к \(x (x^2 + 2x — 24) \geq 0.\) Другими словами, нам нужно решить неравенство \(x (x^2 + 2x — 24) \geq 0.\)

Для решения этого неравенства рассмотрим отдельно множители. Первый множитель — это просто \(x\), второй — квадратный трехчлен \(x^2 + 2x — 24.\) Найдем корни квадратного трехчлена, чтобы понять, на каких промежутках он положителен, а на каких отрицателен.

Решаем уравнение \(x^2 + 2x — 24 = 0.\) По теореме Виета сумма корней равна \(-2\), а произведение корней равно \(-24.\) Найдем корни:
\(x_1 = -6,\)
\(x_2 = 4.\)

Теперь рассмотрим знак выражения \(x^2 + 2x — 24\) на промежутках, разбитых корнями: \((-\infty; -6), (-6; 4), (4; +\infty).\) Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит, между корнями \(x^2 + 2x — 24 < 0,\) а за пределами корней — положительна.

Следовательно, знак выражения \(x (x^2 + 2x — 24)\) зависит от знаков множителей \(x\) и \(x^2 + 2x — 24\) на каждом из промежутков. Рассмотрим знак произведения на каждом из них:
— При \(x < -6\): \(x < 0,\) \(x^2 + 2x — 24 > 0\), произведение отрицательно.
— При \(-6 < x < 0\): \(x < 0,\) \(x^2 + 2x — 24 < 0\), произведение положительно.
— При \(0 < x < 4\): \(x > 0,\) \(x^2 + 2x — 24 < 0\), произведение отрицательно.
— При \(x > 4\): \(x > 0,\) \(x^2 + 2x — 24 > 0\), произведение положительно.

Нам нужно, чтобы произведение было неотрицательно, то есть \(x (x^2 + 2x — 24) \geq 0.\) Из анализа знаков следует, что это выполняется на промежутках \([-6; 0)\) и \([4; +\infty).\) При этом в точках \(x = -6, 0, 4\) произведение равно нулю, что удовлетворяет неравенству.

Однако, поскольку в исходном выражении под корнем стоит \(x\), и корень определен только при \(x \geq 0\), мы должны ограничиться только теми значениями \(x\), для которых подкоренное выражение определено и неотрицательно. Значит, \(x \geq 0\) и \(x (x^2 + 2x — 24) \geq 0.\) Из предыдущего анализа видно, что для \(x \geq 0\) произведение неотрицательно только при \(x \in [4; +\infty).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является промежуток \([4; +\infty).\) Это означает, что при \(x \geq 4\) выражение \(\sqrt{x (x^2 + 2x — 24)}\) определено и неотрицательно, что удовлетворяет условию неравенства.

Ответ: \([4; +\infty).\)