ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 13 Номер 3 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:
1)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9 \\
(x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 4
\end{cases}\)

2)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \\
y = 1 — x^2
\end{cases}\)

3)
\(\begin{cases}
xy = 6 \\
0,5x^2 + y = 6
\end{cases}\)

1)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9 \\
(x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 4
\end{cases}\)
График первого уравнения системы – окружность с центром в точке (0;0) и радиусом, равным 3.
График второго уравнения системы – окружность с центром в точке (1; -2) и радиусом, равным 2.
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в двух точках.
Следовательно, данная система уравнений имеет два решения.
Ответ: два решения.

2)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \\
y = 1 — x^2
\end{cases}\)
График первого уравнения системы – окружность с центром в точке (0;0) и радиусом, равным 2.
График второго уравнения системы – парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0;1).
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в двух точках.
Следовательно, данная система уравнений имеет два решения.
Ответ: два решения.

3)
\(\begin{cases}
xy = 6 \\
0,5x^2 + y = 6
\end{cases}\)
Первое уравнение системы равносильно такому: \(y = \frac{6}{x}\). Его графиком является гипербола.
Второе уравнение системы равносильно такому: \(y = -0,5x^2 + 6\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0;6).
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в трёх точках.
Следовательно, данная система уравнений имеет три решения.
Ответ: три решения.

1)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9 \\
(x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 4
\end{cases}\)
График первого уравнения системы – окружность с центром в точке (0;0) и радиусом, равным 3.
График второго уравнения системы – окружность с центром в точке (1; -2) и радиусом, равным 2.
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в двух точках.
Следовательно, данная система уравнений имеет два решения.
Ответ: два решения.

2)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \\
y = 1 — x^2
\end{cases}\)
График первого уравнения системы – окружность с центром в точке (0;0) и радиусом, равным 2.
График второго уравнения системы – парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0;1).
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в двух точках.
Следовательно, данная система уравнений имеет два решения.
Ответ: два решения.

3)
\(\begin{cases}
xy = 6 \\
0,5x^2 + y = 6
\end{cases}\)
Первое уравнение системы равносильно такому: \(y = \frac{6}{x}\). Его графиком является гипербола.
Второе уравнение системы равносильно такому: \(y = -0,5x^2 + 6\). Его графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0;6).
Построим в одной системе координат графики данных уравнений. Они пересекаются в трёх точках.
Следовательно, данная система уравнений имеет три решения.
Ответ: три решения.

1)
Система уравнений
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 9 \\
(x — 1)^2 + (y + 2)^2 = 4
\end{cases}\)
представляет собой два уравнения окружностей. Первое уравнение описывает окружность с центром в точке (0;0) и радиусом 3, так как радиус равен корню из 9, то есть \(r = 3\). Это значит, что все точки \((x; y)\), которые лежат на этой окружности, находятся на расстоянии 3 от начала координат. Второе уравнение задаёт окружность с центром в точке (1; -2) и радиусом 2, так как радиус равен корню из 4, то есть \(r = 2\). Центр этой окружности смещён вправо на 1 единицу и вниз на 2 единицы относительно начала координат.

При построении графиков этих двух окружностей на одной системе координат видно, что они пересекаются в двух точках. Это означает, что существует ровно две пары \((x; y)\), которые удовлетворяют одновременно обоим уравнениям. Пересечение окружностей — это геометрическое место точек, которые одновременно принадлежат обеим окружностям. Так как пересечений две, система уравнений имеет ровно два решения.

Таким образом, анализируя геометрический смысл уравнений и их графиков, мы видим, что система имеет два решения, соответствующие двум точкам пересечения окружностей.

2)
Система уравнений
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \\
y = 1 — x^2
\end{cases}\)
содержит уравнение окружности и уравнение параболы. Первое уравнение — окружность с центром в начале координат (0;0) и радиусом 2, так как \(r = \sqrt{4} = 2\). Все точки на этой окружности находятся на расстоянии 2 от центра. Второе уравнение задаёт параболу с вершиной в точке (0;1), ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный (\(-1\)).

Парабола задаётся формулой \(y = 1 — x^2\), что означает, что при \(x=0\), \(y=1\) — вершина параболы. При увеличении по модулю \(x\), значение \(y\) уменьшается, и график уходит вниз. Построив графики на одной координатной плоскости, видно, что парабола пересекает окружность в двух точках. Эти точки пересечения — решения системы, так как они удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Итог: система уравнений имеет два решения, поскольку графики пересекаются ровно в двух точках, что соответствует двум парам \((x; y)\), удовлетворяющим обоим уравнениям.

3)
Система уравнений
\(\begin{cases}
xy = 6 \\
0,5x^2 + y = 6
\end{cases}\)
содержит уравнения гиперболы и параболы. Первое уравнение можно преобразовать к виду \(y = \frac{6}{x}\), что является уравнением гиперболы с ветвями в первом и третьем квадрантах, так как произведение \(xy\) постоянно и равно 6. При \(x \to 0\), \(y\) стремится к бесконечности, и график гиперболы имеет асимптоты.

Второе уравнение перепишем как \(y = -0,5x^2 + 6\). Это уравнение параболы с вершиной в точке (0;6), ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) отрицательный. Парабола достигает максимума в вершине и затем убывает в обе стороны.

При построении графиков гиперболы и параболы на одной системе координат видно, что они пересекаются в трёх точках. Это означает, что существует три пары \((x; y)\), которые удовлетворяют сразу двум уравнениям. Таким образом, система имеет три решения, соответствующие точкам пересечения графиков гиперболы и параболы.