ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 22 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если:
1) \(a_4 + a_6 = 16\) и \(a_7 + a_{13} = 1\);
2) \(a_3 + a_9 = -14\) и \(a_4 — a_7 = 27\).

1) Запишем систему уравнений:
\(\begin{cases} a_4 + a_6 = 16 \\ a_7 + a_{13} = 1 \end{cases}\)
Выразив \(a_4, a_6, a_7, a_{13}\) через \(a_1\) и разность \(d\) арифметической прогрессии, получаем:
\(\begin{cases} a_1 + 3d + a_1 + 5d = 16 \\ a_1 + 6d + a_1 + 12d = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2a_1 + 8d = 16 \\ 2a_1 + 18d = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} -10d = 15 \\ 2a_1 + 18d = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} d = -1,5 \\ 2a_1 = 1 — 18d \end{cases}\)
\(\begin{cases} d = -1,5 \\ 2a_1 = 28 \end{cases}\)
\(\begin{cases} a_1 = 14 \\ d = -1,5 \end{cases}\)
Ответ: \(a_1 = 14\); \(d = -1,5\).

2) Запишем систему уравнений:
\(\begin{cases} a_3 + a_9 = -14 \\ a_4 \cdot a_7 = 27 \end{cases}\)
Выразив \(a_3, a_4, a_7, a_9\) через \(a_1\) и разность \(d\) арифметической прогрессии, получаем:
\(\begin{cases} a_1 + 2d + a_1 + 8d = -14 \\ (a_1 + 3d)(a_1 + 6d) = 27 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2a_1 + 10d = -14 \\ a_1^2 + 6a_1 d + 3a_1 d + 18d^2 = 27 \end{cases}\)
\(\begin{cases} a_1 + 5d = -7 \\ a_1^2 + 9a_1 d + 18d^2 = 27 \end{cases}\)
\(a_1 = -7 — 5d\)
\((-7 — 5d)^2 + 9d(-7 — 5d) + 18d^2 = 27\)
Решим второе уравнение системы:
\(49 + 70d + 25d^2 — 63d — 45d^2 + 18d^2 — 27 = 0\)
\(-2d^2 + 7d + 22 = 0\)
\(2d^2 — 7d — 22 = 0\)
\(D = 49 + 4 \cdot 2 \cdot 22 = 49 + 176 = 225\)
\(d_1 = \frac{7 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2\)
\(d_2 = \frac{7 + 15}{4} = \frac{22}{4} = 5,5\)
Если \(d = -2\), то \(a_1 = -7 — 5 \cdot (-2) = -7 + 10 = 3\)
Если \(d = 5,5\), то \(a_1 = -7 — 5 \cdot 5,5 = -7 — 27,5 = -34,5\)
Ответ: \(a_1 = 3\) и \(d = -2\); \(a_1 = -34,5\) и \(d = 5,5\).

Рассмотрим первую часть задачи. Дано, что сумма четвёртого и шестого членов арифметической прогрессии равна 16, а сумма седьмого и тринадцатого членов равна 1. В арифметической прогрессии каждый член можно выразить через первый член \(a_1\) и разность \(d\) по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Значит, \(a_4 = a_1 + 3d\), \(a_6 = a_1 + 5d\), \(a_7 = a_1 + 6d\), \(a_{13} = a_1 + 12d\). Подставим это в систему уравнений:
\(\begin{cases} a_4 + a_6 = (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = 16 \\ a_7 + a_{13} = (a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 1 \end{cases}\)
Сложим подобные члены:
\(\begin{cases} 2a_1 + 8d = 16 \\ 2a_1 + 18d = 1 \end{cases}\)
Теперь решим эту систему. Вычтем первое уравнение из второго:
\((2a_1 + 18d) — (2a_1 + 8d) = 1 — 16\), что даёт
\(10d = -15\), откуда \(d = -1,5\). Подставим значение \(d\) в первое уравнение:
\(2a_1 + 8 \cdot (-1,5) = 16\), то есть
\(2a_1 — 12 = 16\), следовательно
\(2a_1 = 28\), и \(a_1 = 14\). Таким образом, первый член прогрессии равен 14, а разность прогрессии равна -1,5.

Во второй части задачи дана сумма третьего и девятого членов равная -14 и произведение четвёртого и седьмого членов равное 27. Выразим эти члены через \(a_1\) и \(d\):
\(a_3 = a_1 + 2d\), \(a_9 = a_1 + 8d\), \(a_4 = a_1 + 3d\), \(a_7 = a_1 + 6d\). Подставим в условия:
\(\begin{cases} a_3 + a_9 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = -14 \\ a_4 \cdot a_7 = (a_1 + 3d)(a_1 + 6d) = 27 \end{cases}\)
Сложим в первом уравнении:
\(2a_1 + 10d = -14\). Второе уравнение раскрываем по формуле умножения:
\(a_1^2 + 6a_1 d + 3a_1 d + 18 d^2 = 27\), или
\(a_1^2 + 9a_1 d + 18 d^2 = 27\).

Из первого уравнения выразим \(a_1\):
\(2a_1 = -14 — 10d\), значит
\(a_1 = -7 — 5d\). Подставим это значение во второе уравнение:
\((-7 — 5d)^2 + 9d(-7 — 5d) + 18 d^2 = 27\). Раскроем скобки:
\(( -7 — 5d)^2 = 49 + 70 d + 25 d^2\),
\(9d(-7 — 5d) = -63 d — 45 d^2\),
подставим и сложим:
\(49 + 70 d + 25 d^2 — 63 d — 45 d^2 + 18 d^2 = 27\).
Сгруппируем по степеням \(d\):
\(49 + (70 d — 63 d) + (25 d^2 — 45 d^2 + 18 d^2) = 27\),
что даёт
\(49 + 7 d — 2 d^2 = 27\).
Переносим 27 в левую часть:
\(-2 d^2 + 7 d + 22 = 0\). Умножим на -1 для удобства:
\(2 d^2 — 7 d — 22 = 0\).

Найдём дискриминант:
\(D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 49 + 176 = 225\).
Корни уравнения:
\(d_1 = \frac{7 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2\),
\(d_2 = \frac{7 + 15}{4} = \frac{22}{4} = 5,5\).

Для каждого значения \(d\) найдём соответствующий \(a_1\):
Если \(d = -2\), то \(a_1 = -7 — 5 \cdot (-2) = -7 + 10 = 3\).
Если \(d = 5,5\), то \(a_1 = -7 — 5 \cdot 5,5 = -7 — 27,5 = -34,5\).

Итоговые решения:
для \(d = -2\) первый член \(a_1 = 3\),
для \(d = 5,5\) первый член \(a_1 = -34,5\).