ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 22 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каком значении \( x \) значения выражений \( x — 1 \), \( 2x + 9 \), \( x^2 + 2x — 11 \) и \( 4 — x \) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Найдем значение \( x \), при котором первые три выражения \( x — 1 \), \( 2x + 9 \), \( x^2 + 2x — 11 \) образуют арифметическую прогрессию. Для этого должно выполняться равенство:
\( 2(2x + 9) = (x — 1) + (x^2 + 2x — 11) \)
Раскроем скобки и упростим:
\( 4x + 18 = x — 1 + x^2 + 2x — 11 \)
\( x^2 + 3x — 12 — 4x — 18 = 0 \)
\( x^2 — x — 30 = 0 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = -5 \), \( x_2 = 6 \).

Для трех последних выражений \( x^2 + 2x — 11 \), \( 2x + 9 \), \( 4 — x \) должно выполняться:
\( 2(x^2 + 2x — 11) = (2x + 9) + (4 — x) \)
Упростим:
\( 2x^2 + 4x — 22 = 2x + 9 + 4 — x \)
\( 2x^2 + 4x — 22 — 2x — 9 — 4 + x = 0 \)
\( 2x^2 + 3x — 35 = 0 \)
Дискриминант:
\( D = 9 + 280 = 289 \)
Корни:
\( x_1 = \frac{-3 — 17}{4} = -5 \),
\( x_2 = \frac{-3 + 17}{4} = 3.5 \).

Значения выражений будут членами арифметической прогрессии при \( x = -5 \).

Найдем члены прогрессии при \( x = -5 \):
\( x — 1 = -5 — 1 = -6 \),
\( 2x + 9 = 2(-5) + 9 = -10 + 9 = -1 \),
\( x^2 + 2x — 11 = 25 — 10 — 11 = 4 \),
\( 4 — x = 4 — (-5) = 9 \).

Ответ: при \( x = -5 \) члены прогрессии: -6, -1, 4, 9.

Рассмотрим четыре выражения: \( x — 1 \), \( 2x + 9 \), \( x^2 + 2x — 11 \), \( 4 — x \). Нужно найти такое значение \( x \), при котором эти выражения образуют арифметическую прогрессию, то есть последовательность, в которой разность между соседними членами постоянна.

Сначала проверим условие для первых трех выражений: \( x — 1 \), \( 2x + 9 \), \( x^2 + 2x — 11 \). Для того чтобы они были членами арифметической прогрессии, должно выполняться равенство: удвоенное значение второго члена равно сумме первого и третьего, то есть
\( 2(2x + 9) = (x — 1) + (x^2 + 2x — 11) \).
Раскроем скобки и упростим выражение:
\( 4x + 18 = x — 1 + x^2 + 2x — 11 \).
Приведем подобные члены справа:
\( 4x + 18 = x^2 + 3x — 12 \).
Перенесем все в левую часть:
\( 0 = x^2 + 3x — 12 — 4x — 18 \),
что упрощается до
\( x^2 — x — 30 = 0 \).
Решим квадратное уравнение: дискриминант \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{1 — 11}{2} = -5 \),
\( x_2 = \frac{1 + 11}{2} = 6 \).

Далее проверим условие для трех последних выражений: \( x^2 + 2x — 11 \), \( 2x + 9 \), \( 4 — x \). Аналогично, для арифметической прогрессии должно выполняться
\( 2(x^2 + 2x — 11) = (2x + 9) + (4 — x) \).
Раскроем скобки и упростим:
\( 2x^2 + 4x — 22 = 2x + 9 + 4 — x \),
\( 2x^2 + 4x — 22 = x + 13 \).
Перенесем все в левую часть:
\( 2x^2 + 4x — 22 — x — 13 = 0 \),
\( 2x^2 + 3x — 35 = 0 \).
Вычислим дискриминант:
\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{-3 — 17}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5 \),
\( x_2 = \frac{-3 + 17}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 \).

Чтобы все четыре выражения были членами одной арифметической прогрессии, значение \( x \) должно удовлетворять обоим условиям одновременно. Пересечение корней — это \( x = -5 \).

Подставим \( x = -5 \) в выражения и найдем члены прогрессии:
\( x — 1 = -5 — 1 = -6 \),
\( 2x + 9 = 2 \cdot (-5) + 9 = -10 + 9 = -1 \),
\( x^2 + 2x — 11 = (-5)^2 + 2 \cdot (-5) — 11 = 25 — 10 — 11 = 4 \),
\( 4 — x = 4 — (-5) = 4 + 5 = 9 \).

Проверим разности:
\( -1 — (-6) = 5 \),
\( 4 — (-1) = 5 \),
\( 9 — 4 = 5 \).
Разность постоянна, значит последовательность действительно арифметическая.

Ответ: при \( x = -5 \) члены арифметической прогрессии — это числа \(-6\), \(-1\), \(4\), \(9\).