ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 23 Номер 14 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 120 и при делении на 7 дают в остатке 4.

Указанные натуральные числа образуют арифметическую прогрессию \((a_n)\), разность которой равна 7, а \(a_1 = 4\).
Найдём, при каком наибольшем натуральном значении \(n\) верно неравенство \(a_n < 120\).
Имеем:
\(4 + 7(n — 1) < 120\)
\(7(n — 1) < 120 — 4\)
\(7(n — 1) < 116\)
\(n — 1 < \frac{116}{7}\)
\(n — 1 < 16\frac{4}{7}\)
\(n < 17\frac{4}{7}\).

Следовательно, прогрессия \((a_n)\) содержит 17 членов.

\(S_{17} = \frac{4 + 7 \cdot (17 — 1)}{2} \cdot 17 = \frac{8 + 7 \cdot 16}{2} \cdot 17 = \frac{8 + 112}{2} \cdot 17 = \frac{120}{2} \cdot 17 = 60 \cdot 17 = 1020.\)

Ответ: \(S_{17} = 1020.\)

Дано множество натуральных чисел, каждое из которых при делении на 7 даёт остаток 4. Такие числа можно представить в виде арифметической прогрессии, где первый член равен \(a_1 = 4\), а разность прогрессии — это число, на которое увеличивается каждый следующий член, равное 7. То есть каждый следующий член прогрессии получается прибавлением 7 к предыдущему. Запишем это как \(a_n = 4 + 7(n — 1)\), где \(n\) — номер члена прогрессии. Задача состоит в том, чтобы найти сумму всех таких чисел, которые меньше 120, то есть все члены прогрессии, удовлетворяющие условию \(a_n < 120\).

Для начала найдём, сколько членов прогрессии удовлетворяют этому условию. Подставим формулу для \(a_n\) в неравенство: \(4 + 7(n — 1) < 120\). Вычтем 4 из обеих частей: \(7(n — 1) < 116\). Теперь разделим обе части неравенства на 7: \(n — 1 < \frac{116}{7}\). Вычислим дробь: \(\frac{116}{7} = 16 \frac{4}{7}\). Значит, \(n < 17 \frac{4}{7}\). Поскольку \(n\) — натуральное число, оно должно быть меньше 18, но больше либо равно 1, следовательно, максимально возможное значение \(n\) — 17. Это означает, что прогрессия содержит 17 членов, каждый из которых меньше 120.

Теперь найдём сумму этих 17 членов. Сумму членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\), где \(a_1\) — первый член, \(a_n\) — последний член, \(n\) — количество членов. Найдём \(a_{17}\): \(a_{17} = 4 + 7(17 — 1) = 4 + 7 \cdot 16 = 4 + 112 = 116\). Подставим значения в формулу суммы: \(S_{17} = \frac{4 + 116}{2} \cdot 17 = \frac{120}{2} \cdot 17 = 60 \cdot 17 = 1020\). Таким образом, сумма всех натуральных чисел, которые меньше 120 и при делении на 7 дают остаток 4, равна 1020.