ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 13 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Какие три числа надо вставить между числами 15 и 240, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

Число 15 является первым членом искомой прогрессии, число 240 — пятым членом. Пусть \( q \) — знаменатель данной прогрессии. Выразим \( b_5 \) через \( b_1 \) и \( q \): \( b_5 = b_1 q^4 \). Тогда:
\( 240 = 15 q^4 \)
\( q^4 = \frac{240}{15} \)
\( q^4 = 16 \)
\( q = 2 \).

Таким образом:
\( b_2 = b_1 q = 15 \cdot 2 = 30 \);
\( b_3 = b_2 q = 30 \cdot 2 = 60 \);
\( b_4 = b_3 q = 60 \cdot 2 = 120 \).

Ответ: 30; 60; 120.

Число 15 задано как первый член искомой геометрической прогрессии, а число 240 — как пятый член этой прогрессии. В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянный множитель, который называется знаменателем прогрессии и обозначается буквой \( q \). Таким образом, если первый член прогрессии обозначить как \( b_1 \), то пятый член \( b_5 \) можно выразить через первый член и знаменатель следующим образом: \( b_5 = b_1 q^4 \). Здесь степень 4 указывает на то, что для перехода от первого члена к пятому нужно умножить на \( q \) четыре раза.

Из условия задачи известно, что \( b_1 = 15 \) и \( b_5 = 240 \). Подставим эти значения в формулу: \( 240 = 15 q^4 \). Чтобы найти \( q^4 \), нужно обе части уравнения разделить на 15, то есть получить \( q^4 = \frac{240}{15} \). Выполним деление: \( \frac{240}{15} = 16 \), значит \( q^4 = 16 \). Теперь необходимо найти число \( q \), возведенное в четвёртую степень, равное 16. Известно, что \( 2^4 = 16 \), следовательно, \( q = 2 \).

Теперь, когда знаменатель прогрессии найден, можно определить остальные члены прогрессии. Второй член \( b_2 \) равен первому члену, умноженному на \( q \), то есть \( b_2 = b_1 q = 15 \cdot 2 = 30 \). Третий член \( b_3 \) равен второму члену, умноженному на \( q \), то есть \( b_3 = b_2 q = 30 \cdot 2 = 60 \). Четвёртый член \( b_4 \) равен третьему члену, умноженному на \( q \), то есть \( b_4 = b_3 q = 60 \cdot 2 = 120 \). Таким образом, последовательность первых пяти членов прогрессии выглядит так: 15, 30, 60, 120, 240. Ответ: 30; 60; 120.