ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 24 Номер 15 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

При каком значении х значения выражений х — 13, х — 5 и 3x + 5 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Если значения выражений \(x — 13\), \(x — 5\) и \(3x + 5\) являются последовательными членами геометрической прогрессии, то должно выполняться равенство:
\((x — 5)^2 = (x — 13)(3x + 5)\)
\(x^2 — 10x + 25 = 3x^2 + 5x — 39x — 65\)
\(3x^2 — 34x — 65 — x^2 + 10x — 25 = 0\)
\(2x^2 — 24x — 90 = 0 \quad | : 2\)
\(x^2 — 12x — 45 = 0.\)
Отсюда: \(x_1 = -3\), \(x_2 = 15.\)
Найдем члены этой прогрессии.
Если \(x = -3\):
\(x — 13 = -3 — 13 = -16;\)
\(x — 5 = -3 — 5 = -8;\)
\(3x + 5 = 3 \cdot (-3) + 5 = -4.\)
Если \(x = 15\):
\(x — 13 = 15 — 13 = 2;\)
\(x — 5 = 15 — 5 = 10;\)
\(3x + 5 = 3 \cdot 15 + 5 = 50.\)
Ответ: при \(x = -3\): \(-16; -8; -4;\) при \(x = 15\): \(2; 10; 50.\)

Если значения выражений \(x — 13\), \(x — 5\) и \(3x + 5\) являются последовательными членами геометрической прогрессии, это означает, что отношение между соседними членами прогрессии постоянно. Для трех последовательных членов геометрической прогрессии \(a\), \(b\), \(c\) должно выполняться равенство \(\frac{b}{a} = \frac{c}{b}\). Применим это к нашим выражениям, где \(a = x — 13\), \(b = x — 5\), \(c = 3x + 5\). Тогда получаем уравнение \(\frac{x — 5}{x — 13} = \frac{3x + 5}{x — 5}\). Перемножая крест-накрест, имеем \((x — 5)^2 = (x — 13)(3x + 5)\).

Раскроем скобки в этом уравнении. Левая часть: \((x — 5)^2 = x^2 — 2 \cdot 5 \cdot x + 25 = x^2 — 10x + 25\). Правая часть: \((x — 13)(3x + 5) = x \cdot 3x + x \cdot 5 — 13 \cdot 3x — 13 \cdot 5 = 3x^2 + 5x — 39x — 65 = 3x^2 — 34x — 65\). Приравниваем обе части: \(x^2 — 10x + 25 = 3x^2 — 34x — 65\).

Переносим все члены в одну сторону для получения квадратного уравнения: \(x^2 — 10x + 25 — 3x^2 + 34x + 65 = 0\), что упрощается до \(-2x^2 + 24x + 90 = 0\). Домножаем на \(-1\) для удобства: \(2x^2 — 24x — 90 = 0\). Делим на 2: \(x^2 — 12x — 45 = 0\). Решаем это квадратное уравнение по формуле корней: \(x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-45)}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 180}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{12 \pm 18}{2}\). Отсюда два корня: \(x_1 = \frac{12 — 18}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{12 + 18}{2} = 15\).

Теперь найдем члены прогрессии для каждого значения \(x\). При \(x = -3\) получаем: \(x — 13 = -3 — 13 = -16\), \(x — 5 = -3 — 5 = -8\), \(3x + 5 = 3 \cdot (-3) + 5 = -9 + 5 = -4\). Проверяем, что это геометрическая прогрессия: \(\frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}\), \(\frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}\), отношение одинаково, значит это действительно геометрическая прогрессия. При \(x = 15\) вычисляем: \(x — 13 = 15 — 13 = 2\), \(x — 5 = 15 — 5 = 10\), \(3x + 5 = 3 \cdot 15 + 5 = 45 + 5 = 50\). Проверяем отношение: \(\frac{10}{2} = 5\), \(\frac{50}{10} = 5\), отношение равно, значит и здесь члены образуют геометрическую прогрессию.

Таким образом, при двух значениях \(x\) выражения \(x — 13\), \(x — 5\) и \(3x + 5\) образуют геометрическую прогрессию. Ответ: при \(x = -3\) члены прогрессии равны \(-16; -8; -4\), при \(x = 15\) — \(2; 10; 50\). Эти результаты подтверждают, что исходное условие о последовательных членах геометрической прогрессии выполнено.