Рабочая тетрадь по алгебре для 9 класса под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полонского — это практическое учебное пособие, полностью соответствующее Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). Она разработана для систематизации и закрепления знаний, полученных на уроках алгебры, и помогает школьникам глубже понять основные математические понятия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы
Заполните пропуски.
1) Если первый член геометрической прогрессии равен b_1, а знаменатель равен q, причём q ? ____, то сумму n первых членов этой прогрессии можно найти по формуле S_n = ______.
2) Если знаменатель q геометрической прогрессии равен 1, то сумма её n первых членов S_n = ___
1) Если первый член геометрической прогрессии равен \( b_1 \), а знаменатель равен \( q \), причём \( q \neq 1 \), то сумму \( n \) первых членов этой прогрессии можно найти по формуле
\( S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1} \).
2) Если знаменатель \( q \) геометрической прогрессии равен 1, то сумма её \( n \) первых членов
\( S_n = n b_1 \).
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии и обозначаемое как \( q \). Первый член прогрессии обозначается как \( b_1 \). Если мы хотим найти сумму первых \( n \) членов этой прогрессии, то есть сумму элементов от \( b_1 \) до \( b_n \), то используется специальная формула. При условии, что знаменатель \( q \) не равен 1, сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле
\( S_n = b_1 \frac{q^n — 1}{q — 1} \).
Эта формула работает следующим образом: сначала возводится знаменатель \( q \) в степень \( n \), то есть считается \( q^n \), что соответствует значению \( q \), умноженному само на себя \( n \) раз. Затем из этого результата вычитается 1, после чего полученное число делится на разность \( q — 1 \). В итоге получаем коэффициент, на который умножается первый член прогрессии \( b_1 \). Это позволяет быстро найти сумму большого количества членов прогрессии, не вычисляя каждый член отдельно и не складывая их по одному. Формула основана на свойстве геометрической прогрессии, что отношение соседних членов постоянно и позволяет свести сложение множества слагаемых к более простой операции.
Если знаменатель прогрессии равен 1, то есть \( q = 1 \), то каждый член прогрессии равен первому члену \( b_1 \), так как умножение на 1 не меняет значение. В этом случае прогрессия превращается в последовательность одинаковых чисел: \( b_1, b_1, b_1, \ldots \). Тогда сумма первых \( n \) членов будет просто произведением количества членов \( n \) на значение первого члена \( b_1 \), то есть
\( S_n = n b_1 \). Это частный случай, когда формула для суммы геометрической прогрессии упрощается до арифметической суммы одинаковых чисел. Такое условие часто используется для упрощения расчетов, когда знаменатель равен единице и прогрессия перестает быть «геометрической» в привычном смысле, а превращается в константную последовательность.
