ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 25 Номер 9 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Сумма членов конечной геометрической прогрессии равна 2046. Найдите количество членов прогрессии, если её первый член b_1 = 6, а знаменатель прогрессии q = 4.

Для нахождения количества членов \( n \) используем формулу суммы геометрической прогрессии \( S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} \).

Подставляем известные значения: \( \frac{6 \cdot (4^n — 1)}{4 — 1} = 2046 \).

Умножаем обе части на 3: \( 6 \cdot (4^n — 1) = 6138 \), делим на 6: \( 4^n — 1 = 1023 \), прибавляем 1: \( 4^n = 1024 \).

Так как \( 1024 = 4^5 \), получаем \( n = 5 \).

Ответ: \( n = 5 \).

Пусть \( n \) — количество членов геометрической прогрессии, которую нам нужно найти. Для этого мы воспользуемся формулой суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии. Формула имеет вид \( S_n = \frac{b_1(q^n — 1)}{q — 1} \), где \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии, а \( n \) — количество членов. В данной задаче первый член равен 6, знаменатель равен 4, а сумма первых \( n \) членов равна 2046. Подставим эти значения в формулу и составим уравнение: \( \frac{6 \cdot (4^n — 1)}{4 — 1} = 2046 \).

Следующий шаг — упростить выражение в левой части уравнения. Знаменатель равен \( 4 — 1 = 3 \), поэтому уравнение можно переписать как \( \frac{6 \cdot (4^n — 1)}{3} = 2046 \). Чтобы избавиться от дроби, обе части уравнения умножим на 3, получим \( 6 \cdot (4^n — 1) = 2046 \cdot 3 \). Выполним умножение справа: \( 2046 \cdot 3 = 6138 \), следовательно, уравнение примет вид \( 6 \cdot (4^n — 1) = 6138 \).

Теперь разделим обе части уравнения на 6, чтобы выразить \( 4^n — 1 \): \( 4^n — 1 = \frac{6138}{6} \). Выполним деление: \( \frac{6138}{6} = 1023 \), значит \( 4^n — 1 = 1023 \). Прибавим 1 к обеим частям: \( 4^n = 1024 \). Поскольку \( 1024 = 4^5 \), то \( 4^n = 4^5 \) и, следовательно, \( n = 5 \). Это означает, что количество членов прогрессии равно 5. Ответ: \( n = 5 \).