ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 26 Номер 2 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\) со знаменателем \(q\), если:
1) \(b_1 = 28\), \(q = \frac{2}{9}\);
2) \(b_1 = 30\), \(q = -\frac{1}{5}\).

1) \(b_1 = 28, q = \frac{2}{9}\).

Используя формулу \(S = \frac{b_1}{1 — q}\) запишем уравнение:

\(S = \frac{28}{1 — \frac{2}{9}} = \frac{28}{\frac{7}{9}} = 28 \cdot \frac{9}{7} = 4 \cdot 9 = 36.\)

Ответ: \(S = 36.\)

2) \(b_1 = 30, q = -\frac{1}{5}\).

Используя формулу \(S = \frac{b_1}{1 — q}\) запишем уравнение:

\(S = \frac{30}{1 — \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{30}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{30}{\frac{6}{5}} = 30 \cdot \frac{5}{6} = 5 \cdot 5 = 25.\)

Ответ: \(S = 25.\)

1) Пусть \(b_1 = 28\) и \(q = \frac{2}{9}\). Мы рассматриваем бесконечную геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 28, а знаменатель прогрессии равен \(\frac{2}{9}\). Для вычисления суммы всех членов такой прогрессии используется формула \(S = \frac{b_1}{1 — q}\). Эта формула применима, если \(|q| < 1\), что в нашем случае верно, так как \(\frac{2}{9} < 1\). Подставим значения в формулу. Сначала вычислим знаменатель: \(1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\). Теперь делим первый член прогрессии на полученный знаменатель: \(\frac{28}{\frac{7}{9}} = 28 \cdot \frac{9}{7}\). Умножение на дробь, обратную делителю, позволяет упростить выражение. Выполним умножение: \(28 \cdot \frac{9}{7} = 4 \cdot 9 = 36\). Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии с \(b_1 = 28\) и \(q = \frac{2}{9}\) равна \(S = 36\). Это означает, что если сложить все члены прогрессии от первого до бесконечности, то сумма будет стремиться к 36. 2) Пусть теперь \(b_1 = 30\) и \(q = -\frac{1}{5}\). В этом случае знаменатель прогрессии отрицателен, но по модулю меньше 1, что также позволяет использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии \(S = \frac{b_1}{1 - q}\). Отрицательное значение \(q\) означает, что прогрессия будет чередоваться по знаку. Подставим данные в формулу. Вычислим знаменатель: \(1 - \left(-\frac{1}{5}\right) = 1 + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}\). Теперь разделим первый член на этот знаменатель: \(\frac{30}{\frac{6}{5}} = 30 \cdot \frac{5}{6}\). Умножение на обратную дробь упрощает выражение. Выполним умножение: \(30 \cdot \frac{5}{6} = 5 \cdot 5 = 25\). Итак, сумма бесконечной геометрической прогрессии с \(b_1 = 30\) и \(q = -\frac{1}{5}\) равна \(S = 25\). Это значение показывает, что несмотря на чередование знаков членов прогрессии, сумма всех ее членов сходится к конечному числу 25.