ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 3 Номер 4 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Известно, что \(5,3 < \sqrt{29} < 5,4\). Оцените значение выражения.
1) \(\sqrt{29} + 7\)
2) \(8 — \sqrt{29}\)

Известно, что \(5,3 < \sqrt{29} < 5,4\).
1) Прибавив к каждой части неравенства \(5,3 < \sqrt{29} < 5,4\) число 7, получаем:
\(5,3 < \sqrt{29} < 5,4 \quad | + 7\)
\(5,3 + 7 < \sqrt{29} + 7 < 5,4 + 7\)
\(12,3 < \sqrt{29} + 7 < 12,4\).

2) Умножив каждую часть неравенства \(5,3 < \sqrt{29} < 5,4\) на \((-1)\) и прибавив к каждой части полученного неравенства 8, имеем:
\(5,3 < \sqrt{29} < 5,4 \quad | \cdot (-1)\)
\(-5,3 > -\sqrt{29} > -5,4\)
\(-5,4 < -\sqrt{29} < -5,3 \quad | + 8\)
\(-5,4 + 8 < -\sqrt{29} + 8 < -5,3 + 8\)
\(2,6 < 8 — \sqrt{29} < 2,7\).

Известно неравенство \(5,3 < \sqrt{29} < 5,4\), которое даёт нам приблизительный диапазон для значения корня из 29. Это означает, что значение \(\sqrt{29}\) находится где-то между 5,3 и 5,4, но точное значение нам неизвестно. Чтобы оценить выражение \(\sqrt{29} + 7\), мы можем использовать это неравенство и прибавить число 7 ко всем его частям. Прибавление одного и того же числа к каждой части неравенства не меняет порядок неравенств, то есть если \(a < b < c\), то \(a + d < b + d < c + d\) для любого числа \(d\). В нашем случае \(d = 7\), поэтому прибавим 7: \(5,3 + 7 < \sqrt{29} + 7 < 5,4 + 7\). Получаем новое неравенство \(12,3 < \sqrt{29} + 7 < 12,4\), которое показывает, что значение выражения \(\sqrt{29} + 7\) находится между 12,3 и 12,4. Это помогает нам оценить результат без точного вычисления корня.

Во втором случае нужно оценить выражение \(8 — \sqrt{29}\). Для этого используем исходное неравенство \(5,3 < \sqrt{29} < 5,4\), но теперь нам нужно преобразовать его так, чтобы получить границы для \(8 — \sqrt{29}\). Для этого сначала умножим все части неравенства на \(-1\). При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, поэтому \(5,3 < \sqrt{29} < 5,4\) превращается в \(-5,3 > -\sqrt{29} > -5,4\). Чтобы привести неравенство к привычному виду, поменяем порядок частей: \(-5,4 < -\sqrt{29} < -5,3\). Теперь прибавим к каждой части число 8. Прибавление одного и того же числа не меняет порядок неравенства, поэтому получаем \(2,6 < 8 — \sqrt{29} < 2,7\). Таким образом, выражение \(8 — \sqrt{29}\) находится между 2,6 и 2,7.

Этот метод позволяет нам оценивать выражения с иррациональными числами, используя известные приближённые границы. Мы не вычисляем точное значение корня, а лишь сужаем интервал, в котором находится результат. Прибавление и умножение на отрицательное число с изменением знаков неравенств — это стандартные операции при работе с неравенствами, которые помогают преобразовывать их для удобства оценки различных выражений. Такой подход полезен, когда точное вычисление затруднено или не нужно, а достаточно знать примерный диапазон значений.