ГДЗ по Алгебре 9 Класс Рабочая тетрадь Параграф 4 Номер 1 Мерзляк, Полонский — Подробные Ответы

Заполните пропуски.
1) Решением неравенства с одной переменной называют ____________.
2) Решить неравенство — означает найти ____________ или доказать, что ____________.
3) Все решения неравенства образуют ____________.
4) Если неравенство не имеет решений, то множеством его решений является ____________.
5) Неравенства называют равносильными, если они ____________.

1) Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
2) Решить неравенство — означает найти все его решения или доказать, что решений не существует.
3) Все решения неравенства образуют множество решений неравенства.
4) Если неравенство не имеет решений, то множеством его решений является пустое множество.
5) Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

1) Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, при котором числовое неравенство становится истинным. Это значит, что если подставить это значение вместо переменной в выражение неравенства, то получится верное числовое утверждение. Например, для неравенства \(x + 3 > 5\) решением будет любое число \(x\), при котором сумма \(x + 3\) действительно больше 5. Таким образом, решение — это конкретное значение переменной, которое удовлетворяет условию неравенства. Это понятие важно, так как оно позволяет выделить те значения, которые делают неравенство справедливым.

2) Решить неравенство означает найти все такие значения переменной, которые обращают неравенство в истинное утверждение, либо доказать, что таких значений нет вовсе. Процесс решения включает в себя преобразование исходного неравенства с целью выделения множества решений. Это может быть промежуток, несколько промежутков или отдельные точки на числовой оси. Если же ни одно значение переменной не удовлетворяет неравенству, то говорят, что решений не существует. Например, неравенство \(x^2 + 1 < 0\) не имеет решений, потому что квадрат любого числа не может быть отрицательным, следовательно, множество решений пусто.

3) Все решения неравенства вместе образуют множество решений. Это множество включает в себя все значения переменной, которые удовлетворяют неравенству. Множество решений можно представить в виде интервала или объединения интервалов на числовой оси. Например, для неравенства \(x > 2\) множество решений — это все числа, большие 2, то есть интервал \((2; +\infty)\). Это множество является полным описанием всех подходящих значений переменной, и именно оно показывает, какие значения переменной делают неравенство истинным.

4) Если неравенство не имеет решений, то множество его решений — пустое множество, обозначаемое символом \(\emptyset\). Это означает, что нет ни одного значения переменной, которое могло бы сделать неравенство верным. Например, неравенство \(x^2 + 1 < 0\) не имеет решений, так как сумма квадрата и единицы всегда положительна или равна единице, и никогда не бывает меньше нуля. В таких случаях говорят, что множество решений пусто, и это важная характеристика, показывающая невозможность удовлетворения данного неравенства.

5) Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Это значит, что каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот. Равносильные неравенства описывают одинаковые условия на переменную, хотя могут выглядеть по-разному. Например, неравенства \(2x > 4\) и \(x > 2\) равносильны, потому что их решения совпадают — все числа больше 2. Понятие равносильности позволяет заменять одно неравенство другим, более удобным для решения, не изменяя при этом множество решений.